Time index set

Imaginez un phénomène observé à des dates précises. Si vous ne le regardez qu'aux instants 0, 1, 2 et 3, son temps est discret : il avance par rendez-vous séparés. Si vous pouvez l'observer à chaque instant positif, son temps est continu. L'espace des temps est l'ensemble des instants autorisés pour décrire le phénomène. Ce choix indique donc quand les valeurs peuvent être lues et quelles trajectoires sont possibles.

Une chaîne de Markov fournit un exemple discret, tandis qu'un processus de diffusion fournit un exemple continu. En temps continu, on demande souvent à la trajectoire de ne pas avoir de saut imprévisible immédiatement après un instant, tout en autorisant une limite à gauche.

Pour un processus stochastique ou un système dynamique, l'espace des temps est l'ensemble T des instants auxquels le processus est défini. Le symbole T désigne donc le domaine temporel, et non l'ensemble des valeurs prises par le processus. Dans un temps discret, T peut être constitué des entiers naturels : une chaîne de Markov est alors décrite à des étapes séparées. Dans un temps continu, T peut être l'ensemble des réels non négatifs (T = R_{\ge 0}) : un processus de diffusion est alors défini à chaque instant non négatif.

La nature de T détermine la manière de décrire l'évolution. Un temps discret conduit à comparer des états successifs, alors qu'un temps continu conduit à étudier une trajectoire entre deux instants quelconques. Les outils probabilistes et analytiques ne sont donc pas les mêmes dans les deux cadres. Pour les processus en temps continu, des conditions de mesurabilité et de régularité peuvent être imposées séparément ; la continuité à droite avec limite à gauche est une propriété de régularité des trajectoires, distincte de la mesurabilité.

Une description par espace des temps comporte trois éléments liés. Le processus fournit les valeurs aléatoires ou dynamiques observées. L'espace T fournit les instants auxquels ces valeurs existent. La trajectoire est la succession, ou le continuum, des valeurs obtenues lorsqu'un même résultat aléatoire est suivi au fil de T.

Le choix de T organise les relations entre ces éléments. Si T est discret, la trajectoire est une suite d'états indexés par des instants séparés. Si T est continu, elle décrit aussi le comportement entre deux instants. Les conditions de mesurabilité portent alors sur cette dépendance entre instants et trajectoires ; la continuité à droite avec limite à gauche concerne la régularité observable de la trajectoire. Ces données suffisent à préciser le cadre dans lequel les probabilités ou les équations d'évolution seront étudiées.

Considérons un même phénomène observé selon deux conventions temporelles. Les données sont les instants 0, 1, 2 et 3 pour la première convention, puis tous les réels non négatifs (T = R_{\ge 0}) pour la seconde. Dans les deux cas, la valeur du processus à l'instant 1 est disponible ; la différence porte sur les instants intermédiaires.

Dans le premier cadre, l'observation passe de 0 à 1, puis de 1 à 2 et de 2 à 3.
1. L'espace des temps est discret.
2. La trajectoire est décrite par quatre valeurs indexées.
3. Une question sur l'instant 1,5 n'est pas une question du modèle.
Le résultat est une évolution par étapes, comme pour une chaîne de Markov.

Dans le second cadre, les mêmes instants 0, 1, 2 et 3 appartiennent encore au domaine T = R_{\ge 0}, mais l'instant 1,5 aussi.
1. L'espace des temps est continu.
2. La trajectoire peut être étudiée entre 1 et 2.
3. Une question sur l'instant 1,5 appartient au modèle.
Le résultat est une évolution définie à chaque instant non négatif, comme pour un processus de diffusion.

Le contrôle consiste à vérifier que l'instant demandé appartient bien à l'espace des temps choisi. L'instant 1,5 est exclu du premier cadre et inclus dans le second : ce verdict ne dépend pas d'un calcul de valeur, mais du domaine temporel.

Pour une chaîne de Markov, on choisit un temps discret lorsque le phénomène est naturellement relevé par étapes. Le geste consiste à comparer l'état suivant à l'état courant, plutôt qu'à décrire chaque instant intermédiaire.

Pour un processus de diffusion, on choisit un temps continu lorsque l'évolution entre deux observations compte. Le geste consiste alors à suivre la trajectoire à des instants positifs quelconques et à utiliser les outils adaptés à ce cadre.

Le critère observable est la question que le modèle doit permettre de poser. Si l'instant 1,5 doit être traité, un domaine limité aux instants entiers ne convient pas ; il faut un cadre de temps continu ou une autre modélisation explicitement choisie.

L'espace des temps ne se confond pas avec l'espace d'états. Le premier indique quand le processus est défini ; le second indique quelles valeurs ou configurations il peut prendre. Le cas tranche : une chaîne de Markov peut être observée aux instants entiers tout en ayant un espace d'états composé de villes, de nombres ou d'autres objets.

Il ne faut pas non plus confondre temps continu et trajectoire continue. Un processus peut être défini à tout instant positif, donc avoir un temps continu, sans que ses trajectoires soient continues. La continuité à droite avec limite à gauche est une condition de régularité supplémentaire, pas la définition du temps continu.

Le temps discret ne signifie pas nécessairement que les instants sont séparés d'une unité. Un ensemble d'instants comme 0, 2, 4 peut être discret ; il faut regarder le domaine réellement déclaré, et non supposer une convention.

Le temps continu n'impose pas à lui seul des trajectoires continues. Le symptôme d'une confusion est d'attribuer automatiquement une absence de saut au seul fait que tous les instants positifs sont disponibles. Il faut vérifier séparément la condition de régularité annoncée, telle que la continuité à droite avec limite à gauche.

Enfin, les réels positifs excluent l'instant 0 si l'expression est prise au sens strict. Une question portant sur l'origine exige donc de vérifier que le modèle inclut effectivement 0, au lieu de l'ajouter par habitude.

L'article « Markov vous conseille l’avenue Henri-Martin » montre un processus stochastique dans une situation concrète. Il aide à voir comment un modèle par étapes encode les transitions entre états, avant de revenir au rôle précis de l'espace des temps.