Transpose
La transposée d'une matrice A à m lignes et n colonnes est la matrice A^T à n lignes et m colonnes dont l'élément d'indice (i,j) est l'élément d'indice (j,i) de A. La transposée échange lignes et colonnes. Pour les matrices carrées, une matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée. La transposée d'un produit de matrices est le produit des transposées prises en ordre inverse.
Contents
What you will learn
- Construire une transposée en échangeant les indices de ligne et de colonne.
- Contrôler le résultat sur une matrice 2 × 3.
- Reconnaître le critère d'une matrice symétrique.
- Transposer un produit en inversant l'ordre des facteurs.
In plain terms
Imaginez un tableau de nombres avec deux lignes et trois colonnes. Pour le transposer, la première ligne devient la première colonne, la deuxième ligne devient la deuxième colonne. Le tableau obtenu possède donc trois lignes et deux colonnes.
Aucun nombre ne change : seule sa place est relue en échangeant son numéro de ligne et son numéro de colonne. Une matrice carrée qui ne change pas sous cet échange est dite symétrique.
Definition
Soit A une matrice comportant m lignes et n colonnes. Sa transposée, notée AT, comporte n lignes et m colonnes. Pour 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ m, l'élément placé à la ligne i et à la colonne j de AT est l'élément aji de A. Autrement dit, chaque ligne de A devient une colonne de AT, sans modifier les éléments.
La relation d'indices s'écrit . Lorsque A est carrée, elle est symétrique exactement si A = AT. Enfin, si A et B peuvent être multipliées dans cet ordre, la transposée de leur produit inverse l'ordre des facteurs : . L'ordre inverse est indispensable, car les dimensions qui rendent AB possible ne rendent pas nécessairement ATBT possible.
A step-by-step example
Prenons la matrice A à deux lignes et trois colonnes. Ses six données sont 1, 2 et 3 sur la première ligne, puis 4, 5 et 6 sur la seconde.
1. La première ligne de A, formée de 1, 2 et 3, devient la première colonne de AT.
2. La seconde ligne de A, formée de 4, 5 et 6, devient la seconde colonne de AT.
3. La matrice obtenue possède trois lignes et deux colonnes.
4. Le contrôle consiste à choisir un élément et à permuter ses indices. Le nombre 3, situé en ligne 1 et colonne 3 de A, se retrouve bien en ligne 3 et colonne 1 de AT. Le nombre 4 vérifie de même le passage de la position (2, 1) à la position (1, 2).
In practice
Lorsqu'un tableau matriciel doit être lu avec ses colonnes comme nouvelles lignes, la transposée effectue cet échange sans recalculer les valeurs. Avec la matrice A de l'exemple, deux lignes deviennent trois lignes.
Pour tester si une matrice carrée est symétrique, on compare chaque élément à celui obtenu en échangeant son indice de ligne et son indice de colonne. Une seule paire différente suffit à écarter la symétrie.
Dans un calcul contenant un produit AB, transposer le résultat impose de transposer chaque facteur et d'écrire BT avant AT. Conserver l'ordre A puis B donne une autre expression, parfois même impossible à multiplier.
Not to be confused with
Transposée et matrice symétrique. La transposée est une opération définie pour une matrice rectangulaire ou carrée. La symétrie est une propriété d'une matrice carrée : elle exige que la matrice soit égale à sa transposée. La matrice A de l'exemple, de format 2 × 3, possède une transposée, mais elle ne peut pas être qualifiée de symétrique puisqu'elle n'est pas carrée.
Limits and pitfalls
Les dimensions s'inversent. Une matrice à m lignes et n colonnes donne une transposée à n lignes et m colonnes. Si m et n sont différents, les deux matrices n'ont donc pas le même format ; les déclarer égales serait déjà impossible.
Les éléments ne sont pas renversés dans chaque ligne. Leur position (i, j) devient (j, i). Dans l'exemple, 3 passe de (1, 3) à (3, 1) : ce contrôle d'indices évite de fabriquer une simple lecture de droite à gauche.
Un produit change d'ordre. Pour un produit AB défini, la règle correcte est . Écrire ATBT ignore l'ordre inverse et peut conduire à des dimensions incompatibles.
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