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Quelle réalité recouvrent les nombres complexes ? Comment « imaginer » que i² soit égal à -1 ? Une réponse visuelle saisissante passe par une interprétation géométrique de la notion de multiplication. Cerise sur le gâteau, le même modèle explique pourquoi « moins par moins fait plus ».


Pourquoi moins par moins fait-il plus ? Pour résoudre ce premier mystère, transportons-nous dans un monde plus graphique, celui de la droite orientée des réels (« orienter » signifie, étymologiquement, « tourner vers l’Orient », donc vers la droite sur la rose des vents).

 

 

On choisit une origine O. À chaque nombre réel m, on peut associer un point M tel que la valeur algébrique  soit égale à m. On peut même associer à m le vecteur .

 

Association du point M au nombre réel m

 

Transformer les multiplications en rotations 

Grâce à cette représentation géométrique, les nombres « réels » prennent consistance. On peut alors se demander ce que signifie, dans ce cadre, de multiplier par 1, l’élément neutre de la multiplication : m × 1 = m. L’opération n’a pas d’effet visible, et revient à faire une rotation d’un angle 0° autour de l’origine.

 

 

Multiplier Lire la suite


références

Les angles. Bibliothèque Tangente 53, 2015.
La droite. Bibliothèque Tangente 59, 2017.
Éléments d‘histoire des mathématiques. Nicolas Bourbaki, Springer-Verlag, 2007.