Abonnez-vous

Les nombres complexes, nés de calculs impossibles, ont trouvé une interprétation géométrique improbable. Cette rencontre entre le monde de l'algèbre et celui de la géométrie est magnifiquement illustrée par des théorèmes sur les racines d'un polynôme complexe.


Que d’éminents mathématiciens comme Lagrange, Euler et D’Alembert, et leur prince Gauss, se soient attaqué à sa démonstration confirme l’importance du théorème fondamental de l’algèbre, dénommé théorème de D’Alembert–Gauss. Il stipule que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme de degré n possède n racines complexes.

  

Le théorème de Gauss–Lucas 

La dérivée d’un polynôme de degré n étant un polynôme de degré n – 1, la question se pose naturellement d’une éventuelle relation entre les racines de ces deux polynômes. Un théorème existe pour les fonctions réelles. Quand vous redescendez à votre altitude de départ lors d’une randonnée en montagne, il est évident que vous avez dû cesser de monter à un moment pour redescendre. Vous avez alors atteint un maximum local de votre parcours, un endroit où la pente est nulle. C’est la signification du théorème de Rolle, qui spécifie que si une fonction réelle dérivable, comme un polynôme à coefficients réels, prend une même valeur en deux points, alors sa fonction dérivée s’annule, au moins une fois, entre ces ... Lire la suite