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Une jolie transformation


Élisabeth Busser

Une opération sur les complexes transforme les droites en cercles et inversement. Une transformation à garder en tête pour traiter des problèmes de droites et de cercles…



Les opérations sur les nombres complexes z d’image M et z’ d’image M’ trouvent toutes leur interprétation géométrique : à l’addition z + z’ la somme vectorielle   à la soustraction z – z’ le vecteur , à la multiplication zz’ l’image P telle que OP soit le produit des modules de z et z’ et l’angle  soit la somme de leurs arguments. Mais pour la division ? Par exemple, le passage à l’inverse ? Dans cette transformation, qui à z associe z’ = 1/z, l’argument de z’ est l’opposé de celui de z et le module de z’ est l’inverse de celui de z, si z est non nul. Cette jolie transformation, où le point O n’a pas d’image, transforme tout cercle passant par l’origine en une droite qui ne passe pas par O, tout cercle ne passant pas par O en un cercle qui ne passe pas par O, et réciproquement, tout en conservant les contacts, si bien que la figure de droite est l’image de la figure de gauche (et inversement).