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Passer du local au global... sans souci


Jacques Bair

En présence d'un problème d'optimisation, on est amené à rechercher un extremum d'une fonction.


Un extremum local n’a guère de signification : seul importe en général l’extremum global. Pourtant, certains auteurs se contentent d’annuler la dérivée d’une fonction d’une variable pour obtenir, d’après eux, l’extremum global recherché (ce qui est insuffisant pour le prouver).

Il existe cependant des situations pour lesquelles la distinction entre extrema locaux et globaux n’existe pas. Le résultat suivant, baptisé théorème d’insouciance par le professeur François Jongmans (Université de Liège), le prouve : si la fonction réelle  f , définie et continue sur l’intervalle I, présente à l’intérieur de I un seul extremum local, alors celui-ci est extremum global strict de même sens pour f  sur I, tandis qu’un extremum de sens contraire ne peut être (sous réserve d’existence) qu’atteint en une extrémité de I.

Prenons ainsi la fonction cubique définie par  f (x) = 3x2 x3. L’étude locale livre un maximum local (de valeur 4, atteint pour x = 2) et un minimum local (de valeur 0 en x = 0). L’étude globale, elle, dépend fortement de l’intervalle I sur lequel on travaille ! Le théorème d’insouciance permet d’affirmer que le maximum global de  f  sur [1, 3] vaut 4 et est atteint en l’unique maximum local situé dans I, tandis que le minimum vaut 2 et est atteint en l’extrémité inférieure 1 de I. Par contre, si on élargit l’intervalle considéré, le maximum de  f  devient vite supérieur à 4…

Hélas, le théorème d’insouciance ne s’étend pas aux fonctions de plusieurs variables. Il faut alors recourir à des propriétés liées à la convexité (ou à la concavité) de la fonction étudiée pour retrouver, sous certaines hypothèses, un passage automatique du problème local au global.