GéométrieNotion · Glossaire
Al-Khazin
Abu Jafar Muhammad ibn al-Hasan Al-Khazin (vers 900-vers 971) est un mathématicien et astronome musulman originaire d'Iran oriental. Commentateur de l'Almageste de Ptolémée, il proposa un modèle géocentrique à mouvement solaire non uniforme. En géométrie, il établit que, parmi les triangles de même périmètre non nul, l'équilatéral a l'aire maximale ; il s'intéressa aussi aux équations diophantiennes, étudiées pour leurs solutions entières.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier Al-Khazin et son contexte.
- Vérifier la comparaison d’aires à périmètre fixé.
- Comprendre la précaution sur les solutions entières.
En clair
Imaginez plusieurs triangles dont le contour mesure toujours 12 unités. Le triangle de côtés 4, 4 et 4 enferme la plus grande surface : il est équilatéral, car ses trois côtés ont la même longueur. Avec des côtés 3, 4 et 5, la surface vaut 6 unités carrées, contre environ 6,93 pour le triangle équilatéral.
Al-Khazin est aussi associé à des questions d’astronomie et d’arithmétique. Ses travaux relient ainsi l’observation du ciel, la géométrie des figures et l’étude des équations à solutions entières.
Définition
Al-Khazin est Abu Jafar Muhammad ibn al-Hasan Al-Khazin, mathématicien et astronome musulman originaire d’Iran oriental, actif vers 900-971. Il commenta l’Almageste de Ptolémée, traité astronomique de référence, et proposa un modèle géocentrique dans lequel le mouvement apparent du Soleil n’est pas uniforme.
En géométrie, il étudia le problème de l’aire maximale parmi les triangles de même périmètre. Si le périmètre est fixé et non nul, le triangle équilatéral, dont les trois côtés sont égaux, a l’aire maximale. Dans l’exemple de périmètre 12, les côtés 4, 4 et 4 donnent une aire égale à 4√3, soit environ 6,93 unités carrées, tandis que les côtés 3, 4 et 5 donnent 6 unités carrées.
En théorie des nombres, il s’intéressa aux équations diophantiennes, c’est-à-dire aux équations dont on cherche des solutions entières. La source lui attribue le résultat selon lequel x³ + y³ = z³ n’admet pas de solution entière ; cette formulation doit être comprise avec la convention usuelle de solutions entières positives, car des solutions nulles rendraient l’énoncé brut faux.
Un exemple, pas à pas
On compare deux triangles dont le périmètre est 12 unités. Le premier a pour côtés 3, 4 et 5 ; le second est équilatéral, avec trois côtés de 4 unités.
Données : périmètre 12 ; côtés du premier triangle : 3, 4 et 5 ; côtés du second triangle : 4, 4 et 4.
Pour le triangle 3-4-5, le demi-périmètre est 6. La formule de Héron donne :
Pour le triangle équilatéral, la même longueur de contour impose le côté 4. Son aire vaut
où A est l’aire, s le demi-périmètre et a, b, c les côtés. On obtient
unités carrées.
Pour le triangle équilatéral, la même longueur de contour impose le côté 4. Son aire vaut
unités carrées.
Le contrôle compare les deux résultats : 4√3 ≈ 6,93 est supérieur à 6. Les deux triangles ont bien le même périmètre, mais l’équilatéral enferme davantage de surface.
En pratique
Pour comparer des triangles de même périmètre, on additionne d’abord leurs trois côtés. Si les périmètres ne coïncident pas, la comparaison d’aires ne teste pas la propriété étudiée.
Pour calculer l’aire d’un triangle dont on connaît les trois côtés, la formule de Héron est une alternative à la mesure de la hauteur. Elle est adaptée lorsque la hauteur n’est pas directement donnée.
Pour une équation diophantienne, on vérifie que les valeurs cherchées appartiennent bien aux entiers. Une solution réelle ou décimale ne suffit pas lorsque la question porte sur des solutions entières.
À ne pas confondre
Le triangle équilatéral ne se confond pas avec le triangle 3-4-5. Le premier est défini par l’égalité de ses trois côtés ; le second possède des côtés de longueurs différentes. À périmètre 12, leurs aires respectives sont environ 6,93 et 6 unités carrées : cette comparaison tranche la distinction.
Une équation diophantienne ne désigne pas toute équation algébrique. Le critère testable est le domaine des solutions recherchées : pour x³ + y³ = z³, une solution décimale éventuelle ne répond pas à une question limitée aux entiers.
Limites et pièges
La propriété d’aire maximale porte sur des triangles de même périmètre, non sur des triangles de même base ou de même aire. Si le périmètre change, le verdict ne permet plus d’isoler la forme équilatérale ; il faut commencer par rétablir la contrainte commune.
Le cas de côtés 3, 4 et 5 est charnière pour le calcul : son aire vaut exactement 6 unités carrées. Le résultat équilatéral 4√3 est exact, tandis que 6,93 est une approximation ; il ne faut pas écrire une égalité entre ces deux écritures.
L’énoncé x³ + y³ = z³ doit préciser son domaine. Pris au sens des entiers incluant zéro, il admet par exemple x = 0, y = 1 et z = 1. La formulation sans solution concerne donc les entiers positifs, ou une convention équivalente explicitement annoncée.
Pour aller plus loin
L’article L'identité heureuse permet de prolonger l’étude des équations diophantiennes par un exemple où une identité algébrique organise la recherche de solutions entières.
Le glossaire Almageste de Ptolémée situe le commentaire d’Al-Khazin dans l’histoire des modèles astronomiques et aide à distinguer observation du ciel et choix géocentrique.
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