L'énoncé qui a fait passer Bézout à la postérité prend soit la forme d'un théorème dit de Bachet–Bézout (a et b étant deux entiers relatifs, a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1), soit celle d'une identité (il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = d, avec d le plus grand commun diviseur de a et b). L'identité se déduit facilement du théorème. Le résultat n'est cependant un « scoop » pour aucun des deux mathématiciens aux noms associés, mais le premier l'a démontré à sa manière et le second l'a généralisé.
Bachet, le précurseur
Bachet de Méziriac pratiquait aussi bien la poésie que les langues anciennes ou les mathématiques, mais c'est essentiellement par ses Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres (voir en encadré) et par les méthodes de résolution qu'il propose que nous le connaissons aujourd'hui.
L'idée sous-jacente à cet ouvrage est novatrice : les récréations mathématiques étaient reléguées habituellement en annexe et elles sont ici l'objet même du livre. L'auteur y explique de façon détaillée ses propres méthodes de résolution, souvent originales. Ce ne sont pas des problèmes amusants qui viennent illustrer des théorèmes sérieux, mais des problèmes récréatifs qui conduisent à chercher des mathématiques utiles pour les résoudre.
