Diophante d’Alexandrie est un mathématicien grec majeur dont on ne sait pourtant que peu de choses (voir article « Diophante d'Alexandrie, cet inconnu »). Il a établi la règle des signes pour les opérations sur les nombres négatifs, qu’il qualifie cependant « d’absurdes ». Mais il est surtout à la source, pour la postérité, de l’adjectif « diophantien », qui s’applique à toute équation polynomiale ayant pour coefficients et solutions des nombres entiers. L’une des équations diophantiennes les plus élémentaires qui se puisse imaginer est, sans aucun doute, l’équation ax + by = c, d’inconnues x et y (les entiers a, b et c étant donnés). Pour simple qu’elle soit, elle n’en a pas moins eu de riches applications.
Le théorème de Bachet‒Bézout ----------------------------
On peut déjà constater que le plus grand commun diviseur de a et b, noté d = PGCD (a, b), divise, par définition, a et b, et donc le premier terme ax + by de notre équation. Si le second terme c n’est pas divisible par d, alors manifestement aucune solution n’est possible. Dans le cas contraire, Bachet a été le premier à montrer que cette équation admet alors au moins une solution. Longtemps, ce théorème a été attribué à Étienne Bézout, avant d’être plus justement dénommé théorème de Bachet‒Bézout.
Considérons déjà l’équation ax + by = 1, où les coefficients a et b sont premiers entre eux (c’est-à-dire que d = 1). On peut obtenir la solution générale de cette équation à partir d’une solution particulière (x0, y0), puisque alors a ( x*0 ‒ kb) + b ( y*0 + ka) = ax0 + by 0 = 1 pour tout entier k.
La difficulté est donc de déterminer une telle solution particulière (x0, y0), par tâtonnements ou, plus efficacement, par division euclidienne (algorithme d’Euclide) ou congruence.