Diofanto di Alessandria è un importante matematico greco di cui si sa tuttavia ben poco (vedi l’articolo «Diofanto di Alessandria, questo sconosciuto»). Stabilì la regola dei segni per le operazioni sui numeri negativi, che tuttavia definiva «assurdi». Ma soprattutto diede ai posteri l’aggettivo «diofanteo», che si applica a ogni equazione polinomiale i cui coefficienti e le cui soluzioni siano numeri interi. Una delle equazioni diofantee più elementari che si possano immaginare è senza dubbio l’equazione ax + by = c, nelle incognite x e y (dati gli interi a, b e c). Per quanto semplice, ha avuto ugualmente ricche applicazioni.
Il teorema di Bachet‒Bézout ----------------------------
Si può anzitutto osservare che il massimo comune divisore di a e b, indicato con d = MCD (a, b), divide per definizione a e b, e dunque il primo membro ax + by della nostra equazione. Se il secondo membro c non è divisibile per d, allora è chiaro che non è possibile alcuna soluzione. In caso contrario, Bachet fu il primo a dimostrare che l’equazione ammette almeno una soluzione. Per molto tempo questo teorema fu attribuito a Étienne Bézout, prima di essere più giustamente denominato teorema di Bachet‒Bézout.
Consideriamo anzitutto l’equazione ax + by = 1, i cui coefficienti a e b sono coprimi (cioè d = 1). A partire da una soluzione particolare (x0, y0) si può ottenere la soluzione generale dell’equazione, poiché allora a ( x*0 ‒ kb) + b ( y*0 + ka) = ax0 + by 0 = 1 per ogni intero k.
La difficoltà consiste dunque nel determinare una simile soluzione particolare (x0, y0), per tentativi o, più efficacemente, mediante la divisione euclidea (algoritmo di Euclide) o le congruenze.