Diofanto de Alejandría es un importante matemático griego del que, sin embargo, sabemos muy poco (véase el artículo « Diophante d'Alexandrie, cet inconnu »). Estableció la regla de los signos para las operaciones con números negativos, aunque los calificaba de « absurdos ». Pero es sobre todo el origen, para la posteridad, del adjetivo «diofántico», que se aplica a toda ecuación polinómica cuyos coeficientes y soluciones son números enteros. Una de las ecuaciones diofánticas más elementales que cabe imaginar es, sin duda, la ecuación ax + by = c, con incógnitas x e y (dados los números enteros a, b y c). Por sencilla que sea, no deja de tener ricas aplicaciones.
El teorema de Bachet‒Bézout
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Observemos primero que el máximo común divisor de a y b, denotado por d = MCD (a, b), divide, por definición, a a y a b, y por tanto al primer miembro ax + by de nuestra ecuación. Si el segundo miembro c no es divisible por d, entonces, evidentemente, no hay solución posible. En caso contrario, Bachet fue el primero en demostrar que esta ecuación admite al menos una solución. Durante mucho tiempo, este teorema se atribuyó a Étienne Bézout, antes de recibir con mayor justicia el nombre de teorema de Bachet‒Bézout.
Consideremos la ecuación ax + by = 1, cuyos coeficientes a y b son primos entre sí (es decir, d = 1). A partir de una solución particular (x0, y0) podemos obtener la solución general de esta ecuación, pues entonces
a ( x*0 ‒ kb) + b ( y*0 + ka) = ax0 + by 0 = 1 para todo número entero k.
La dificultad consiste, por tanto, en determinar una solución particular de este tipo (x0, y0), por tanteo o, más eficazmente, mediante división euclídea (algoritmo de Euclides) o congruencias.
