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Imprescindibles en geometría como en análisis, las raíces cuadradas sin embargo tardaron siglos en imponerse como números propiamente dichos en matemáticas. ¡La dificultad para evaluarlas no ayudó a hacerlas aceptar! De hecho, a menudo es necesario calcular valores aproximados de estas. Para ello, ¿qué mejor que un buen algoritmo? Sin duda conoces el de Herón o el método de extracción gota a gota de los dígitos, pero este dossier te ayudará a comprender finalmente "por qué y cómo funciona"

Extraer una raíz, para el célebre sabio Coseno, es una sesión de cálculo… en el dentista. En matemáticas, los métodos de extracción de raíces cuadradas son múltiples: exactas o aproximadas, mediante sucesiones o funciones, de una calculadora – se ha convertido en el reflejo moderno–, pero también a mano, como en la escuela para las divisiones, salvo que es un poco más complicado. Esta será la ocasión de descubrir una técnica poco conocida de extracción manual de raíz cúbica! Luego se puede generalizar fácilmente a las raíces complejas, gracias a Euler, siempre él: su definición, los polígonos regulares que permiten dibujar, y las llamadas raíces primitivas con el concepto de polinomio ciclotómico.

Desde el origen, el hombre ha tenido necesidad de prever, y por tanto de medir. ¿Cómo evaluar la distancia entre dos edificios, dos ciudades, dos montañas, dos planetas? Los GPS integrados en nuestros teléfonos y en nuestros coches casi nos harían olvidar que hubo un tiempo (no tan lejano) en que estimar una distancia era cosa de una proeza científica. Esto comenzó con la topografía en un entorno cercano, luego se prestó atención a distancias inaccesibles directamente, permitiendo orientarse en la tierra, en el mar o en el espacio. Se idearon nuevas técnicas, apoyándose frecuentemente en matemáticas ingeniosas como la triangulación, así como toda una gama de desafíos: encontrar los caminos más cortos, determinar curvas de equidistancia, colocar puntos lo más regularmente posible sobre una esfera…

Si frecuentemente es posible probar teóricamente la existencia de una solución óptima para un problema dado, una forma explícita y completa de esta solución es más difícil de obtener fuera de algunos casos triviales. Por lo tanto, hay que conformarse con calcular una estimación de la misma, mediante algoritmos. Los ejemplos son numerosos, tanto en un contexto « psicológico » (optimización del bienestar colectivo gracias al modelo de Pareto) como físico. Así, cuando la cantidad a optimizar varía como un fluido, se puede, con ingeniosos procedimientos, alcanzar el precioso mínimo o máximo, con la condición de tener cuidado de no quedar atrapado en un mínimo o máximo local : ¡es el óptimo global el que se busca!

Antes del siglo XIX, muchos de quienes ahora son considerados como matemáticos no obtenían sus ingresos de esta actividad, incluso ejercían otra, más rentable. Si bien el estatus de matemático se ha ido oficializando e institucionalizando progresivamente, la práctica de la disciplina atrae siempre a numerosos aficionados, hombres y mujeres, que encuentran placer en sumergirse en ciertas preguntas no resueltas, principalmente en geometría y en teoría de números. Vaya al encuentro de estos no profesionales que encuentran, o que buscan aún, y, ¿por qué no?, únase a la comunidad de los aficionados.

¡No les tenga miedo! Detrás de un formalismo a veces desconcertante, las ecuaciones diferenciales son un dominio extremadamente poderoso del análisis matemático. Se han vuelto indispensables por la necesidad de resolver problemas concretos en numerosos sectores donde desempeñan un papel fundamental. Primero utilizadas en geometría y en física, hoy en día permiten, en la mayoría de las ciencias y en numerosos sectores de la ingeniería, modelar fenómenos que involucran una variable continua. Y cuando es imposible encontrar una solución exacta, se puede determinar una solución aproximada mediante esquemas numéricos u ordenadores.

Más allá de la simple descripción de la realidad, la estadística también puede ayudar, al modelizar una situación con fórmulas probabilísticas adaptadas, a prever sus evoluciones plausibles en el futuro. Los « modelos de mezcla » son un ejemplo complejo que permite encontrar diferentes clases en una población y… predecir la de un nuevo individuo para, por ejemplo, ofrecerle contenidos o productos que podrían interesarle en plataformas de proveedores. En el ámbito de la salud, los modelos predictivos permiten mejorar la atención de los pacientes hasta imaginar una medicina personalizada. En deporte, los análisis conducen a dosificar lo mejor posible la cantidad de entrenamiento que optimiza el rendimiento individual, y, en el marco colectivo, los avances llegan hasta predecir al ganador de la próxima copa mundial de fútbol a partir del rendimiento pasado.

Alexis Clairaut, matemático relativamente desconocido del siglo XVIII, es sin embargo notable por más de un título. Ingresó a la Academia a los 18 años, donde dio la primera lectura de sus trabajos sobre las curvas alabeadas a los 13 años. Lo encontramos en la expedición encargada de medir un grado de meridiano en Laponia, lo que permitirá resolver la cuestión de la forma de la Tierra, en coherencia con los cálculos de Newton. De hecho, dedicó una gran parte de sus investigaciones a la validación de la teoría de la gravitación, en astronomía pero también en hidrostática. Muy apegado a la pedagogía, que ejerce, entre otras cosas, como preceptor de la marquesa du Châtelet, redactó sus Elementos de geometría y álgebra. Estos últimos seguirán siendo referencia un siglo más tarde.

Sería muy reduccionista pensar que los procesos iterativos solo contribuyen a la resolución de problemas de matemáticas o informática. ¡La idea de iterar un proceso forma parte de nuestro día a día! ¡Pitágoras ha seguido él mismo un proceso iterativo (la repetición de un intervalo, la quinta) para construir las notas de la escala musical, una escala utilizada durante siglos! Los vínculos con la música no terminan ahí. Dos mil quinientos años más tarde, la noción de iteración se filtra, para dicha de nuestros oídos, incluso en los métodos modernos de composición. Música minimalista, números primos... todas las inspiraciones son válidas. Estas mises en abyme recursivas incluso pueden inspirar a escritores y artistas, o dar lugar a construcciones autorreferentes particularmente estéticas. ¡Efectivamente, incluso las matemáticas más abstractas se invitan a todas partes para asombrarnos!

Blaise Pascal veía la geometría como el más hermoso de los oficios. Seducido desde su más tierna infancia por los clásicos de la literatura matemática que su padre le confiaba, hizo de ellos su alimento hasta producir él mismo resultados nuevos. También desarrolló nuevas formas de razonar al demostrar varias propiedades por inducción, algo nuevo en aquella época. Aritmética, cónicas, génesis de las probabilidades y de la combinatoria: todos los dominios atrajeron al prodigio clermontois.