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Los números complejos han revolucionado totalmente el análisis: al permitir que la variable de una simple función real tome valores en ℂ, Leonhard Euler y sobre todo Bernhard Riemann abrieron una caja de Pandora cuya riqueza nadie habría podido imaginar. La exponencial finalmente floreció, y con ella toda la trigonometría, cuyas fórmulas se vuelven accesibles para todos. Tanto es así que campos de la física, como la ingeniería eléctrica, ya no pueden prescindir de ella. La función zeta ahora nos hace vislumbrar mil maravillas matemáticas, particularmente sobre los números primos, ladrillos elementales de la aritmética. Pero cuidado con el temerario que aborde la hipótesis de Riemann: el millón de dólares prometido para su demostración da testimonio, por sí solo, de la magnitud y dificultad de la tarea…

En geometría plana, la tangente, todos la conocemos... siempre que la construcción pone en escena un círculo (C), una recta (D) y un punto P. Sin embargo, existen situaciones mucho más ricas. Con únicamente círculos tangentes, emerge una diversidad extraordinaria. Así, el arbelos, cuya vertiginosa construcción iterativa da lugar a propiedades abundantísimas, todas más asombrosas las unas que las otras, fascinó a los Antiguos. Los círculos gemelos de Arquímedes y las cadenas de Pappo nos sumergen en el corazón de una transformación geométrica de las más elegantes, la inversión. Más recientemente, los círculos de Malfatti permiten revisitar desde otro ángulo la noción de círculo inscrito. ¡La tangencia no ha dejado de asombrarnos!

La recompensa estimula, también es cierto para las mates, y esto, desde hace siglos. Aún falta que los organismos respalden más estas iniciativas, que desconocen y a veces consideran elitistas… En la década de 1900, se creó en Francia el Concours général. Docentes visionarios y motivados desarrollaron luego otros tipos de experiencias: competiciones menos escolares, pruebas reservadas para chicas, torneos en varias mangas, rallyes en grupos… cuyo éxito parece no decaer entre los jóvenes. Otros, de mayor edad, podrán recibir otras recompensas: por acciones de popularización, por creaciones pluridisciplinarias, incluso, si sus trabajos de investigación son universalmente reconocidos, ¡la célebre medalla Fields!

Si se conoce a Condorcet como el gran defensor de la instrucción pública, a menudo se olvida que fue primero un matemático. Sus trabajos en análisis fueron celebrados por la Academia de las Ciencias, aunque hay que reconocer que los juicios sobre su obra matemática fueron a veces bastante negativos. Esto se debe sin duda en gran parte a su intento de fundar una matemática social, es decir, de aplicar las probabilidades a cuestiones humanas, en particular electorales. Esto parte de una voluntad de utilizar las matemáticas para eliminar los errores de razonamiento y los prejuicios de nuestras acciones. También en esta perspectiva se inscribe su defensa de una enseñanza popular de las matemáticas, así como su oposición a la pensée magique que rodeaba las experiencias de Mesmer. De la misma manera, se involucró políticamente por el derecho de voto de las mujeres y por la abolición de la esclavitud. Condorcet es autor de un pensamiento rico donde las matemáticas sirven siempre de sustrato.

Un conjunto es una colección de objetos – los elementos – entre los cuales puede existir todo tipo de relaciones. A nivel elemental, se pueden visualizar los conjuntos mediante « patatoides » conectados por flechas para materializar las relaciones que los unen, pero esta representación naïve alcanza rápidamente sus límites, en particular cuando los conjuntos son infinitos. La teoría de conjuntos ofrece sobre todo un marco para la formalización rigurosa de todos los campos de las matemáticas y conduce a demostraciones sorprendentes: más que una simple teoría, es un nuevo enfoque de las matemáticas.

Después de las formas geométricas básicas, objetos más elaborados fueron sometidos a la acción de la regla y el compás. ¿Se pueden obtener elipses o parábolas punto a punto y reconstruir todos sus puntos notables? Entramos en el universo de los números constructibles... o no. Encontrar cuáles lo son es todo un arte. El poder de las técnicas desarrolladas invadió la teoría de números y permitió resolver - por la negativa - un problema de más de dos mil años: la cuadratura del círculo!

Del mismo modo que un pequeño dibujo vale más que un largo discurso, nada vale, en el ámbito de las matemáticas, un contraejemplo para desmentir una falsa intuición o una conjetura errónea. Si es fascinante (o a veces divertida) para los apasionados, la búsqueda de contraejemplos no es una simple distracción. Es fundamental, tanto en el proceso de razonamiento como herramienta pedagógica. Ha salpicado el desarrollo de las matemáticas, permitiendo por ejemplo a la teoría de funciones tomar cuerpo. Más recientemente, programas utilizando la inteligencia artificial han puesto de manifiesto contraejemplos sofisticados, refutando numerosas conjeturas, en particular en teoría de grafos.

Implícitamente presente en la geometría de la Grecia antigua, la convexidad encuentra su formulación rigurosa en el siglo XIX en análisis, en el marco de la resolución de desigualdades. En todos los dominios que la utilizan, siempre que el objeto manipulado es convexo, se constata que todo se vuelve fácil. De sutiles propiedades geométricas "saltan a la vista" o se establecen fácilmente. El concepto invade numerosos dominios matemáticos (topología, investigación operativa…) antes de ser utilizado mucho más allá, como en inteligencia artificial, en finanzas o en economía.

¿Pueden las matemáticas salvar también vidas? La pandemia de Covid-19 sorprendió por su virulencia pero también por la rapidez de su propagación. Se han publicado numerosas estadísticas, a veces contradictorias. Los modelos matemáticos permiten abordar, comprender, estudiar, predecir los fenómenos que nos rodean. Pero ¿cuál puede ser su aporte mientras tantas incógnitas permanecen? Al cuantificar y explicar sus consecuencias directas sobre la propagación, ¿justifican los modelos ciertas medidas a tomar, por penosas que sean? Las herramientas matemáticas utilizadas para abordar la complejidad de lo vivo no son más que aproximaciones que pueden indicar pistas explicativas, pero no podrán reemplazar una comprensión real de los fenómenos. La alianza de las matemáticas y las demás ciencias permitirá, esperemos, tomar las buenas decisiones.

Desde el alba de los tiempos, decenas de miles de acertijos matemáticos han sido imaginados, de los cuales una gran parte continúa apasionando a quienes se involucran en la búsqueda de sus soluciones. Estas últimas provocan un verdadero entusiasmo cuando el razonamiento es asombroso, cuando recurre a analogías inesperadas, cuando saca a la luz una información oculta. ¿Cómo puede el autor de problemas de matemáticas hacer gala de creatividad hasta el punto de motivar tanto fervor? ¿Cómo puede renovarse mientras tantos temas han sido abordados?