La teoría de conjuntos constituye la base sobre la que se construye todo el edificio matemático. Está muy lejos de ser elemental: ¿cómo definir rigurosamente un conjunto? Es cierto que un conjunto está formado por una «colección de objetos». Para cada conjunto, hay que determinar con precisión qué objetos forman parte de él y cuáles no. ¿Cómo proceder? La manera más sencilla de definir un conjunto se denomina por extensión. Basta con describir los elementos del conjunto como una colección de objetos. Así, los resultados posibles al lanzar un dado forman un conjunto E, compuesto por los números naturales 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Se escribe E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Otra forma de proceder consiste en definir los elementos del conjunto por comprensión. Basta entonces con caracterizar todos los elementos que se quieren incluir en el conjunto explicitando una o varias de sus propiedades comunes. Esta forma de proceder puede plantear problemas en ocasiones, incluso cuando las propiedades consideradas parecen claras.
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Del vacío al conjunto de los naturales
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El conjunto más fácil de definir por extensión es el que no contiene ningún elemento: el conjunto vacío, representado mediante la letra escandinava . El origen de la notación es bien conocido: se necesitaba un símbolo parecido al 0, pero que no fuera un 0. El matemático francés André Weil, que sabía noruego, introdujo esta notación en 1937. He aquí, pues, el conjunto vacío:
