La teoria degli insiemi è alla base della costruzione di tutto l’edificio matematico. È ben lontana dall’essere elementare: come definire rigorosamente un insieme? Certo, un insieme è costituito da una «collezione di oggetti». Per ciascun insieme, occorre dunque stabilire con precisione quali oggetti ne fanno parte e quali no. Come procedere? Il modo più semplice per definire un insieme è detto per estensione. Ci si limita a descrivere gli elementi dell’insieme come una collezione di oggetti. Così, i possibili risultati del lancio di un dado formano un insieme E, costituito dai numeri naturali 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Lo si indica con E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Un altro modo di procedere consiste nel definire gli elementi dell’insieme per comprensione. Basta caratterizzare tutti gli elementi che si vogliono includere nell’insieme esplicitandone una o più proprietà comuni. Questo approccio può talvolta porre problemi, anche quando le proprietà considerate sembrano chiare.
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Dal vuoto all’insieme dei naturali
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L’insieme più facile da definire per estensione è quello che non contiene alcun elemento: l’insieme vuoto, indicato con la lettera scandinava . L’origine della notazione è ben nota: occorreva un simbolo simile allo 0, senza essere uno 0. Il matematico francese André Weil, che conosceva il norvegese, introdusse questa notazione nel 1937. Ecco dunque l’insieme vuoto:
