Ensembles, relations et applications : une nouvelle approche
Un ensemble est une collection d'objets – les éléments – entre lesquels il peut exister toutes sortes de relations. Au niveau élémentaire, on peut visualiser les ensembles à l'aide de « patatoïdes » reliés par des flèches pour matérialiser les relations qui les lient, mais cette représentation naïve trouve rapidement ses limites, en particulier quand les ensembles sont infinis. La théorie des ensembles offre surtout un cadre à la formalisation rigoureuse de tous les domaines des mathématiques et conduit à des démonstrations renversantes : plus qu'une simple théorie, c'est une nouvelle approche des mathématiques.
Tutti gli articoli di questo dossier
Georg Cantor: dal finito all’infinito
Per estendere agli insiemi infiniti risultati pratici sugli insiemi finiti, Cantor ha definito l’uguaglianza delle cardinalità attraverso la nozione di biezione e, di conseguenza, la disuguaglianza attraverso quelle di iniezione e suriezione. Sorprendentemente, si ottiene una relazione d’ordine.
Dalla collezione di oggetti all’insieme
Un insieme può essere definito per estensione o per comprensione. Costruire i numeri interi diventa allora un esercizio facile, ma formativo. Attenzione però all’apparente semplicità della nozione di insieme, inteso come una semplice collezione di oggetti: i paradossi sono in agguato...
L’insieme e le sue parti
Le operazioni elementari sugli insiemi comprendono l’inclusione, l’unione, l’intersezione, la differenza simmetrica… Anche la nozione di insieme delle parti è naturale e feconda. Come descrivere, contare e strutturare l’insieme delle parti?
I diagrammi a patata, un’idea che fa faville
Quando si considerano più sottoinsiemi di uno stesso insieme, può essere difficile individuarne bene le diverse intersezioni. Rappresentare questi sottoinsiemi con delle «patate» permette spesso di vederci più chiaro e di non fare la figura degli ingenui davanti a domande più semplici di quanto sembrino.
Le regole dell’infinito
Non si può giocare con gli insiemi senza sottostare a certe regole...
Relazioni e applicazioni: strutturare gli insiemi
La definizione di una nozione di relazione tra insiemi è indispensabile per poter cominciare a fare matematica. Questo concetto di relazione, al centro dei fondamenti della matematica, comprende come caso particolare quello di applicazione e permette di dotare gli insiemi di strutture.
Il nome degli elementi di un insieme
Come afferma David Hilbert in una frase divenuta celebre, attribuire un nome a un oggetto matematico è artificiale. Invece, identificare un oggetto con la sua immagine mediante una biiezione, in modo da metterne in risalto le proprietà, può essere decisivo.
Sfolgoranti relazioni binarie
Gli uomini nascono liberi e uguali nei diritti. Eppure Coluche poteva aggiungere, non senza malizia, che «alcuni sono più uguali degli altri»! Definire un ordine o un’«uguaglianza» in un certo senso richiede di delimitare bene che cosa designino tali concetti.
Dedekind e gli insiemi — Pillola matematica | Tangente
Uno dei primi promotori della teoria degli insiemi fu il tedesco Dedekind, che intrattenne una celebre corrispondenza con Cantor.