Richard Dedekind: un primo abbozzo di teoria degli insiemi
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I lavori di Richard Dedekind (1831–1916) in teoria dei numeri si fondano su un ampio uso degli insiemi. Così, nell’ambito dei numeri algebrici, introdusse le nozioni di ideale e di campo, e fu il primo a insegnare in Germania la teoria di Galois. Prima dei lavori di Cantor, Dedekind utilizzava senza esitazioni collezioni infinite che ancora facevano storcere il naso ad alcuni suoi contemporanei.
Dedekind impiegò gli insiemi anche nei suoi lavori «fondazionali», per definire i numeri reali e i numeri naturali. In particolare, la sua definizione dell’insieme dei naturali, nel 1888, in Que sont et à quoi servent les nombres ?, si fonda su un arsenale concettuale insiemistico sviluppato esplicitamente all’inizio della sua memoria. Definisce il concetto di insieme, che chiama «sistema»: «Accade assai spesso che cose diverse a, b, c… siano, per qualche motivo, riunite sotto un medesimo punto di vista, raccolte nel pensiero, e allora si dice che formano un sistema S.» Fornisce inoltre definizioni rigorose di diverse nozioni insiemistiche, per esempio insieme infinito o equipotenza, e dimostra numerosi risultati importanti. In quest’opera si trova dunque un primo abbozzo di teoria astratta degli insiemi, benché si sia ancora ben lontani dalla teoria assiomatica ZFC.
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L’opposizione di Kronecker
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Tra i matematici che contestavano la nozione di insiemi infiniti, uno dei più virulenti era Leopold Kronecker. La sua violenta opposizione a Cantor è nota. Per lui, la teoria di Cantor poteva forse essere filosofia o teologia, ma certamente non matematica.
Kronecker criticò anche i lavori di Dedekind, con il quale entrò in competizione nell’ambito degli studi sui numeri algebrici. Dal suo punto di vista, i metodi insiemistici, non costruttivi e basati sull’infinito attuale, conferiscono ai lavori di Dedekind un’astrazione eccessiva e li rendono difficili da comprendere e valutare.
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Una ricca corrispondenza con Cantor
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A partire dal 1872, Dedekind intrattenne con Cantor una corrispondenza intensa ma irregolare. Discutevano soprattutto dei lavori di quest’ultimo, che per lo più prendeva l’iniziativa di scrivere e cercava il parere del suo compatriota. È proprio l’approvazione di Dedekind che Cantor cerca quando scopre che l’insieme dei punti di una superficie come il quadrato ha la stessa «dimensione» dell’insieme dei punti di un segmento. Dopo aver inviato a Dedekind la sua dimostrazione, gli scrive: «Finché non mi avrete dato ragione, posso solo dire: lo vedo, ma non ci credo.»
Dedekind era fermamente convinto dell’utilità e dell’accettabilità degli insiemi infiniti. Anche dopo la pubblicazione dei paradossi di Russell, acconsentì infine a una terza edizione del suo libro sui numeri naturali e scrisse nella prefazione che la sua fede nell’«armonia interna della nostra logica non ne risulta scossa».
