Un approccio alla matematica che sconvolge

La teoria degli insiemi, iconoclasta agli inizi con Cantor, è diventata universale. Non si vedeva nulla di simile dai tempi di Euclide: fornisce un fondamento alla matematica! Questo fondamento sembra solido, finché non compaiono i paradossi. Che cos’è dunque questa costruzione matematica così controversa?

La nozione di insieme, che ci è così familiare, non era mai comparsa in matematica prima dei lavori del matematico tedesco Georg Cantor. Si parlava allora di «varietà», «totalità», «classe», e Cantor inventò non solo un linguaggio del tutto nuovo, ma anche l’assiomatica che lo accompagna, aprendo il vaso di Pandora di una teoria allora incongrua, di cui probabilmente non aveva previsto tutti gli sviluppi né tutti gli eccessi.

Cantor: dare un nome ai concetti ----------------------------

Prima della metà del 19^º secolo, in matematica i concetti prevalevano sul rigore degli enunciati. Certo, in Augustin Cauchy (1789–1857) e Bernard Bolzano (1781–1848) si trovavano già tentativi di chiarire nozioni quali la continuità, il limite e la convergenza nell’analisi, ma fu con i tedeschi Georg Cantor e Richard Dedekind (1831–1916) che gli oggetti matematici ricevettero davvero un nome. Nel 1883 apparve negli Acta Mathematica una versione francese delle memorie pubblicate da Cantor dal 1870, primo abbozzo della sua Mengenlehre, divenuta la nostra «teoria degli insiemi». Molto interessato ai problemi di conteggio, in particolare a quello di «contare» l’infinito, Cantor formula così il problema dell’identificazione di due funzioni f e g, entrambe rappresentate da serie trigonometriche elaborate da Joseph Fourier circa cinquant’anni prima: che cosa accade se f(x) = g(x) ovunque tranne che su un insieme «eccezionale»? Fu allora che Cantor gettò, in un centinaio di pagine, le basi della «sua» teoria degli insiemi.

Fu lui a definire un insieme come una «collezione M di oggetti del nostro pensiero, determinati e ben distinti, che chiameremo elementi di M», usando già le maiuscole per designare gli insiemi e le minuscole per i loro elementi. Fu ancora lui a codificare, nelle sei memorie pubblicate fra il 1878 e il 1884, termini quali equipotenza, cardinale, potenza di un insieme, insiemi annidati o insieme bene ordinato (da cui sarebbe poi derivato il teorema del buon ordinamento). Fu lui, infine, a definire gli insiemi derivati (l’insieme dei punti di accumulazione di un insieme) e a creare, strada facendo, insiemi che si potevano derivare infinite volte, sviluppando una vera e propria «aritmetica dell’infinito».