Un enfoque de las matemáticas que inquieta

La teoría de conjuntos, iconoclasta en sus inicios con Cantor, se ha vuelto universal. Algo nunca visto desde Euclides: ¡sirve de fundamento a las matemáticas! Esta base parece sólida, hasta que aparecen las paradojas. ¿Qué es, pues, esta construcción matemática tan controvertida?

La noción de conjunto, que nos resulta tan familiar, nunca había aparecido en matemáticas antes de los trabajos del matemático alemán Georg Cantor. Entonces se hablaba de «variedad», «totalidad» y «clase», y Cantor inventó no solo un lenguaje completamente distinto, sino también el sistema de axiomas que lo acompaña, abriendo la caja de Pandora de una teoría entonces incongruente, de la que probablemente no previó todos los desarrollos ni todos los excesos.

Cantor: dar nombre a los conceptos ----------------------------

Antes de mediados del siglo 19^.º, en matemáticas primaban los conceptos sobre el rigor de los enunciados. Ya se habían encontrado en Augustin Cauchy (1789–1857) y Bernard Bolzano (1781–1848) esbozos de clarificación de nociones como la continuidad, el límite o la convergencia en análisis, pero fue con los alemanes Georg Cantor y Richard Dedekind (1831–1916) cuando los objetos matemáticos recibieron realmente un nombre. En 1883 apareció en Acta Mathematica una versión francesa de las memorias publicadas por Cantor desde 1870, primer esbozo de su Mengenlehre, convertida en nuestra «teoría de conjuntos». Muy preocupado por los problemas de recuento, y más concretamente por el de «contar» el infinito, Cantor planteó en estos términos el problema de identificar dos funciones f y g, ambas representadas por series trigonométricas, desarrolladas por Joseph Fourier unos cincuenta años antes: ¿qué ocurre si f(x) = g(x) en todas partes salvo en un conjunto «excepcional»? Fue entonces cuando Cantor sentó, en un centenar de páginas, las bases de «su» teoría de conjuntos.

Fue él quien definió un conjunto como una «colección M de objetos de nuestra concepción, determinados y bien distintos, que llamaremos elementos de M», utilizando ya las mayúsculas para nombrar los conjuntos y las minúsculas para sus elementos. También fue él quien codificó, en las seis memorias que publicó entre 1878 y 1884, términos como equipotencia, cardinal, potencia de un conjunto, conjuntos encajados o conjunto bien ordenado (del que surgiría más tarde el teorema del buen orden). Asimismo, definió los conjuntos derivados (el conjunto de los puntos de acumulación de un conjunto) y, de paso, creó conjuntos que podían derivarse infinitas veces, desarrollando una verdadera «aritmética del infinito».