La convergencia de las series de Fourier era un importante campo de investigación en las décadas de 1860 y 1870. Para una función periódica «suficientemente regular», el resultado no planteaba ningún problema, pero a veces aparecía un fenómeno extraño: la convergencia de la serie podía producirse en puntos en los que la función periódica ni siquiera era continua.
Antinomias de los ordinales --------------------------------
El matemático alemán Georg Cantor era aún muy joven cuando se interesó por este problema. Se preguntó por los conjuntos de discontinuidad de tales funciones, lo que le llevó a desarrollar la teoría de conjuntos y, sobre todo, la de las cardinalidades infinitas. Consideró entonces que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad (finita o no) si puede establecerse una biyección entre ellos; es decir, si a cada elemento de A puede hacerse corresponder de manera única un elemento de B y, recíprocamente, cada elemento de B es imagen de uno y solo un elemento de A. Mostró así que el conjunto de los números enteros y el de los números racionales tienen la misma cardinalidad, y que hay tantos puntos en una recta como en un plano. Pero ¿son iguales todas las cardinalidades infinitas? Cantor demostró que no en un artículo publicado en 1874, en el que justificaba que no existe ninguna biyección entre los números enteros y los números reales. Su demostración era difícil y no fue hasta 1891 cuando presentó una prueba diáfana e histórica, conocida como la diagonal de Cantor (véase les Ensembles, Bibliothèque Tangente 61, 2017). De paso, justificó que existe una infinidad de números trascendentes, es decir, que no son solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros, mientras que se sabe con qué dificultades Charles Hermite y Carl Lindemann habían justificado la trascendencia de e y de π en 1873 y 1882.
Cantor trató de conferir el estatus de número a las distintas cardinalidades infinitas, dando así vida a los ordinales. Quiso, en particular, definir un orden total, como ocurre con los números enteros (que corresponden a las cardinalidades finitas). Inspirándose en estos últimos, dijo que el ordinal del conjunto A es menor (o igual) que el del conjunto B si existe una inyección de A en B; esto generaliza lo que sucede en el caso finito.
Para completar su teoría de los ordinales, Cantor necesitaba dos resultados. El primero afirma que, dados dos conjuntos A y B, o bien existe una inyección de A en B, o bien existe una de B en A, lo que garantiza que el orden es total. El segundo, conocido como teorema de Cantor–Bernstein, afirma que, dados dos conjuntos E y F, si existe una inyección de E en F y otra de F en E, entonces ambos conjuntos están en biyección. Por tanto, los ordinales pueden ordenarse como se hace con las cardinalidades finitas.