En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, David Hilbert propuso veintitrés problemas que estructuraron los trabajos matemáticos del 20.º siglo. Para respaldar su idea axiomática, propuso «demostrar la consistencia de la aritmética de Peano», es decir, que a partir de los axiomas de la aritmética y de las reglas formales de deducción no pueden obtenerse a la vez una afirmación y su contraria. Diréis que es de sentido común: ¡«2 + 2 = 5» o no! Sin embargo, nadie lo había demostrado con tal generalidad antes de que Hilbert planteara este problema… ¡y Kurt Gödel demostró treinta años después que era falso!
En realidad, el lógico austriaco demostró mucho más: en todo sistema axiomático que contenga la axiomática de Peano existen afirmaciones cuya verdad o falsedad no puede demostrarse. Los matemáticos ya lo sabían en el caso de la geometría. El postulado de las paralelas es indemostrable dentro del marco de los axiomas de la geometría de Euclides que excluyen dicho postulado. Se trata de un axioma que hoy se expresa así: «Dados un punto A y una recta D, por A pasa una y solo una recta paralela a D».
Si se sustituye por un axioma que niega la existencia de paralelas, se obtiene otra geometría: la geometría esférica. Si se sustituye por un axioma que afirma la existencia de varias paralelas, se obtiene la geometría hiperbólica.
Afirmaciones indemostrables ---------------------------
Teniendo en cuenta el tiempo y la energía de que disponemos, es fácil demostrar que existen afirmaciones cuya verdad o falsedad es humanamente imposible demostrar. Se dice que tales afirmaciones son indecidibles. Para ello basta considerar la noción de longitud de una demostración. Como existen infinitas afirmaciones demostrables —por ejemplo, las de tipo «el número n es primo»— y sus demostraciones son distintas, las hay tan largas como se quiera. Podemos considerar que, más allá de cierta longitud (10100, por ejemplo, que representa más que el número de electrones del universo), una demostración está fuera del alcance humano, incluso con ayuda de un potente ordenador. Esto no es más que sentido común, pero Gödel afirma mucho más. La aritmética —con los axiomas de Peano— contiene afirmaciones indecidibles… y él las exhibe. El ejemplo del recuadro puede hacer pensar que el problema se debe a que se ha «olvidado» un axioma —en este caso, el de elección— en la aritmética de Peano. Puede añadirse: existirán otras afirmaciones indemostrables en este nuevo sistema —por el teorema de Gödel—, y así sucesivamente. La incorporación de nuevos axiomas no permite en ningún caso sortear el resultado de Gödel.