Al Congresso internazionale dei matematici del 1900, David Hilbert propose ventitré problemi che orientarono la ricerca matematica del 20º secolo. Per consolidare la propria idea assiomatica, propose di «dimostrare la coerenza dell’aritmetica di Peano», cioè che, a partire dagli assiomi dell’aritmetica e dalle regole formali di deduzione, non si possano avere contemporaneamente un’asserzione e la sua negazione. È una questione di buon senso, direte voi: «2 + 2 = 5» oppure no! Eppure nessuno l’aveva dimostrato con questa generalità prima che Hilbert ponesse il problema… e trent’anni dopo Kurt Gödel dimostrò che era falso!
In realtà, il logico austriaco dimostrò molto di più: in ogni sistema assiomatico che contiene l’assiomatica di Peano, esistono asserzioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità. I matematici lo sapevano già nel caso della geometria. Il postulato delle parallele non è dimostrabile nel quadro degli assiomi della geometria di Euclide che lo escludono. Si tratta di un assioma che oggi si esprime così: «Dati un punto A e una retta D, per A passa una e una sola retta parallela alla retta D.»
Sostituendolo con un assioma che nega l’esistenza di rette parallele, si ottiene un’altra geometria: la geometria sferica. Sostituendolo con un assioma che afferma l’esistenza di più rette parallele, si ottiene la geometria iperbolica.
Asserzioni indimostrabili ---------------------------
Tenendo conto del tempo e dell’energia di cui disponiamo, è facile dimostrare che esistono asserzioni di cui è umanamente impossibile provare la verità o la falsità. Tali asserzioni si dicono indecidibili. Basta considerare la nozione di lunghezza di una dimostrazione. Poiché esistono infinite asserzioni dimostrabili (per esempio quelle del tipo «il numero n è primo») e le loro dimostrazioni sono distinte, ve ne sono di lunghezza arbitraria. Si può ritenere che, oltre una certa lunghezza (per esempio 10100, più del numero di elettroni nell’universo), una dimostrazione sia umanamente inaccessibile, persino con l’aiuto di un potente computer. È solo buon senso, ma Gödel afferma molto di più. L’aritmetica, con gli assiomi di Peano, contiene asserzioni indecidibili… e ne esibisce alcune. L’esempio nel riquadro può far pensare che il problema dipenda dall’aver «dimenticato» un assioma, qui quello della scelta, nell’aritmetica di Peano. Lo si può aggiungere: in questo nuovo sistema esisteranno altre asserzioni indimostrabili, per il teorema di Gödel, e così via. L’aggiunta di nuovi assiomi non consente in alcun caso di aggirare il risultato di Gödel.