I pensatori dell’Antichità sapevano che esistono più numeri interi di qualunque valore fissato in anticipo, ma rifiutavano di considerare la totalità di tutti questi numeri. Solo alcuni grandi precursori, come Galileo, Leibniz, Bolzano, Riemann e Dedekind, fecero progressivamente accettare l’esistenza dell’infinito attuale, divenuto un oggetto come gli altri e non più un’indeterminatezza vaga. Richard Dedekind (1831-1916) fu il primo a proporre una definizione di infinito: un insieme X è infinito se esiste una biiezione, che egli chiama corrispondenza biunivoca, tra X e un suo sottoinsieme proprio. Per esempio, l’applicazione successore da ℕ in ℕ \\ {0}, che associa a n il valore n + 1, è una biiezione: ogni elemento di ℕ ha un unico successore in ℕ \\ {0} e ogni elemento di ℕ \\ {0} ha un unico predecessore in ℕ.

Richard Dedekind intorno al 1886.

I paradossi e la crisi dei fondamenti ----------------------------------------
A partire dagli anni Settanta dell’Ottocento, Georg Cantor (1845-1918) si interessò da vicino all’infinito. Nel 1873 dimostrò che gli insiemi ℤ e ℚ sono numerabili, nel senso che possono essere messi in biiezione con ℕ; ℝ, invece, non è numerabile: in un certo senso, i numeri reali sono strettamente più numerosi degli interi.