La geometria fu il primo ambito della matematica a essere assiomatizzato: è il grande progetto degli Elementi di Euclide. Tuttavia, l’assioma detto delle parallele (vedi "L’origine della razionalità") pone un problema. Elaborate nel XIXº secolo, le geometrie non euclidee mostrano che non è deducibile dagli altri assiomi. Un’elegante illustrazione fu data da Henri Poincaré (1854-1912) con il semipiano che porta il suo nome e che consente di rappresentare la geometria iperbolica nel piano euclideo: ci si pone nel semipiano complesso a parte immaginaria strettamente positiva e lo si dota di una metrica alquanto particolare, dotata di una certa curvatura. Le «rette» di questo semipiano risultano allora essere semirette verticali e semicirconferenze (in senso euclideo). Ciò permette di tracciare un’infinità di parallele a una stessa «retta», contraddicendo così l’assioma delle parallele.
Il semipiano di Poincaré.
È in questo contesto, per di più fortemente incline all’assiomatizzazione, che appare necessario rivedere l’impianto dato da Euclide.
Semplicità, indipendenza e articolazione
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