Dossier

Duecento numeri. O meglio, duecento appuntamenti imperdibili per gli appassionati di matematica. Duecento occasioni per dilettarsi con leccornie geometriche, pepite aritmetiche, prelibatezze algebriche, delizie artistiche e altri stuzzichini ludici, probabilistici, logici e altri ancora. Testimonianze di personalità vi faranno scoprire l'alchimia nascosta che ha permesso alla rivista Tangente di svilupparsi, di suscitare vocazioni, di aiutare gli insegnanti, di appassionare gli adepti della cultura scientifica, ma anche far conoscere e comprendere i meccanismi matematici nascosti in innumerevoli campi. La storia, l'arte, la cultura, la scienza, la letteratura, il divertimento e i temi di attualità sono presenti fin dal numero 1 e lo saranno finché sarete al nostro fianco!

Era fisico o matematico? La visione di Henri Poincaré va oltre i compartimenti, i limiti, le frontiere. Dominando tutte le scienze fisiche della sua epoca, insegna sia l'elettricità che l'ottica o l'elettrodinamica. È interessandosi alle curve definite da equazioni differenziali che esamina con occhio innovatore il vecchio problema della stabilità del sistema solare e dà vita ai sistemi dinamici, una teoria al confine tra l'analisi, la topologia e la meccanica celeste. Poincaré svolge anche un ruolo determinante nello studio della velocità della luce, la teoria elettromagnetica di Maxwell e la messa in evidenza del movimento della Terra nell'etere. Con Lorentz, mette a punto il formalismo della relatività ristretta, che Einstein riprenderà.

Con la parabola e l'iperbole, l'ellisse è una delle tre coniche. Inizialmente esaminate nel contesto della risoluzione di problemi che richiedevano strumenti aggiuntivi alla riga e al compasso, come la duplicazione del cubo, vengono poi unificate dalla loro definizione geometrica come intersezione di un piano e di un cono. L'ellisse, che sembra essere solo un semplice cerchio schiacciato, presenta proprietà sorprendenti, che si tratti del calcolo del suo perimetro, di diversi metodi di costruzione che le si possono immaginare o delle proprietà pratiche che la sua definizione bifocale permette, una delle quali è la dimostrazione dell'eliocentrismo.

Alexis Clairaut, matematico relativamente poco conosciuto del XVIII secolo, è tuttavia rimarchevole per più di un motivo. Entrato all'Accademia a 18 anni, vi presenta la prima lettura dei suoi lavori sulle curve gobbe a 13 anni. Lo ritroviamo nella spedizione incaricata di misurare un grado di meridiano in Lapponia, il che permetterà di risolvere la questione della forma della Terra, in coerenza con i calcoli di Newton. Ha d'altra parte dedicato una grande parte delle sue ricerche alla validazione della teoria della gravitazione, in astronomia ma anche in idrostatica. Molto legato alla pedagogia, che esercita, tra l'altro, come precettore della marchesa du Châtelet, redige i suoi Elementi di geometria e di algebra. Quest'ultimi faranno ancora riferimento un secolo più tardi.

Estrarre una radice, per il celebre studioso Cosinus, è una seduta di calcolo… dal dentista. In matematica, i metodi di estrazione delle radici quadrate sono molteplici: esatti o approssimati, mediante sequenze o funzioni, con una calcolatrice – è diventato il riflesso moderno –, ma anche a mano, come a scuola per le divisioni, se non fosse che è un po' più complicato. Sarà l'occasione per scoprire una tecnica poco nota di estrazione manuale della radice cubica! Si può poi generalizzare facilmente alle radici complesse, grazie a Euler, sempre lui: la loro definizione, i poligoni regolari che permettono di disegnare, e quello che si chiamano radici primitive con il concetto di polinomio ciclotomico.

Indispensabili in geometria come in analisi, le radici quadrate hanno tuttavia impiegato secoli per affermarsi come numeri a pieno titolo in matematica. La difficoltà nel calcolarle non ha aiutato a farle accettare! Di fatto, spesso bisogna calcolarne valori approssimati. Per questo, cosa c'è di meglio di un buon algoritmo? Conoscete senza dubbio quello di Erone o il metodo di estrazione cifra per cifra, ma questo dossier vi aiuterà a capire finalmente « perché e come funziona »

Non abbiate paura di loro! Alle spalle di un formalismo a volte fuorviante, le equazioni differenziali sono un dominio estremamente potente dell'analisi matematica. Sono state rese indispensabili dalla necessità di risolvere problemi concreti in numerosi settori in cui svolgono un ruolo fondamentale. Inizialmente utilizzate in geometria e in fisica, oggi permettono, nella maggior parte delle scienze e in numerosi settori dell'ingegneria, di modellizzare fenomeni che coinvolgono una variabile continua. E quando è impossibile trovarne una soluzione esatta, si può determinare una soluzione approssimativa con l'aiuto di schemi numerici o computer.

Sarebbe alquanto riduttivo pensare che i processi iterativi servano solo alla risoluzione di problemi di matematica o informatica. L'idea di iterare un processo fa parte del nostro quotidiano ! Pitagora stesso ha seguito un processo iterativo (la ripetizione di un intervallo, la quinta) per costruire le note della scala musicale, una scala utilizzata per secoli. I legami con la musica non finiscono qui. Duemilacinquecento anni dopo, la nozione di iterazione si insinua per la più grande gioia delle nostre orecchie nei moderni procedimenti di composizione. Musica minimalista, numeri primi... tutte le ispirazioni sono buone. Queste mise en abyme ricorsive possono persino ispirare scrittori e artisti, o essere all'origine di costruzioni autoreferenziali particolarmente estetiche. Decisamente, anche la matematica più astratta si invita ovunque per meravigliarci !

I numeri irrazionali, lo zero, i numeri negativi hanno impiegato secoli per essere accettati. Fu lo stesso caso dei « numeri immaginari », che hanno dato vita alla nozione di numeri complessi. All'origine della loro – tardiva – introduzione, c'era il desiderio di risolvere le equazioni di secondo grado che non avevano soluzione reale. Ciò ha portato alla concezione di un insieme potente, dotato della struttura di campo algebricamente chiuso, cioè nel quale ogni equazione algebrica ammette una soluzione. Meglio ancora, nella misura in cui i complessi possono essere identificati con un punto del piano, una potente corrispondenza tra algebra, analisi, geometria e trigonometria stava per nascere !

Se è spesso possibile dimostrare in modo teorico l'esistenza di una soluzione ottimale a un dato problema, una forma esplicita e completa di questa soluzione è più difficile da ottenere al di fuori di alcuni casi di studio. Bisogna quindi accontentarsi di calcolarla, mediante algoritmi, una stima. Gli esempi sono numerosi, sia in un contesto «psicologico» (ottimizzazione del benessere collettivo grazie al modello di Pareto) che fisico. Così, quando la quantità da ottimizzare varia come un fluido, si può, con procedure ingegnose, raggiungere il prezioso minimo o massimo, a condizione di fare attenzione a non rimanere bloccati in una buca locale: è l'ottimo globale che viene ricercato!