Un’equazione differenziale è una relazione tra una funzione e le sue derivate. Risolverla consiste nel determinare tutte le funzioni che soddisfano questa relazione, espresse nella forma «più semplice». Un modo efficace per affrontarle è partire da alcune funzioni usuali e interrogarsi sulle equazioni differenziali di cui sono soluzioni.
Partendo dall’esponenziale -----------------------------
Una funzione fondamentale in matematica, che conduce a una delle equazioni differenziali più elementari, è l’esponenziale, scritta f (x) = *ex. Si vede subito che f ’(x) = ex = f (x). Ne segue che soddisfa identicamente l’equazione f ’= f , oppure f ’– f = 0 (in pratica, per ottenere una scrittura più compatta, nelle equazioni si omette in genere di indicare la variabile x*).
Questa espressione ne fa una delle equazioni differenziali «più semplici»: è lineare, del primo ordine (interviene soltanto la derivata prima), a coefficienti costanti e senza secondo membro.
Prendiamo ora g (x) = x2. Questa nuova funzione g soddisfa g’(x) = 2x.