Prevedere l’evoluzione della consistenza di una popolazione animale, vegetale o umana comporta una posta in gioco enorme. La matematica ci aiuta a modellizzare queste situazioni. In un primo momento, si potrebbe pensare che sia appropriato usare le successioni, in cui ogni termine *un corrisponderebbe, per esempio, alla consistenza di una popolazione dopo n* anni. È vero per alcuni insetti, le cui forme adulte muoiono in inverno mentre le uova attendono la bella stagione per schiudersi, oppure per certe piante, i cui semi aspettano la primavera per entrare nella fase di germinazione. In queste situazioni, le diverse generazioni sono ben distinte.
La situazione si complica seriamente se le generazioni possono sovrapporsi, cioè quando adulti di età diverse possono convivere. Se a questo si aggiunge il caso di specie, come l’uomo, in cui il periodo riproduttivo non segue alcuna periodicità stagionale, l’uso delle successioni diventa inestricabile. L’ideale è allora modellizzare la situazione con una funzione N dipendente dal tempo t. Le osservazioni di situazioni reali fanno pensare che il tasso di crescita della popolazione, dato da N’(t), dipenda anche dalla consistenza della popolazione stessa. In altre parole, esiste un legame tra N e N’: entrano in gioco le equazioni differenziali!
Un modello semplicistico -------------------
Nel 1798 il pastore incaricato dei bisognosi Thomas Malthus pubblicò il suo Saggio sul principio della popolazione. Vi suggerì che il tasso di crescita della popolazione dipendesse dal tasso di natalità b e dal tasso di mortalità d, che considerava costanti. La popolazione è dunque soggetta a un tasso di crescita r = b – d e si ha la relazione N’ = rN. Questa equazione differenziale è probabilmente la più semplice che si possa immaginare e la sua risoluzione fornisce esplicitamente N(t) = N0 exp(r t), dove N0 è la popolazione iniziale.
Come suggerisce l’intuizione, se il tasso di natalità è superiore al tasso di mortalità, r è positivo e la popolazione cresce. Al contrario, se r < 0, la popolazione decresce e, se r = 0, nascite e decessi si compensano e la popolazione resta stabile.