Prever la evolución del tamaño de una población animal, vegetal o humana plantea enormes retos. Las matemáticas nos ayudan a modelizar estas situaciones. En un primer momento, podría pensarse que el uso de sucesiones, en las que cada término *un representaría, por ejemplo, el tamaño de una población al cabo de n* años, es adecuado. Así ocurre con ciertos insectos cuyas formas adultas mueren en invierno, mientras los huevos esperan el buen tiempo para eclosionar, o con determinadas plantas cuyas semillas esperan la primavera para entrar en la fase de germinación. En estas situaciones, las distintas generaciones están claramente separadas.
La situación se complica considerablemente si las generaciones pueden solaparse, es decir, cuando pueden convivir adultos de distintas edades. Si a esto se añade el caso de especies —como la humana— en las que el periodo de reproducción no sigue periodicidad estacional alguna, el uso de sucesiones se vuelve inextricable. Lo ideal es entonces modelizar la situación mediante una función N que depende del tiempo t. Las observaciones de situaciones reales sugieren que la tasa de crecimiento de la población, dada por N’(t), depende también del tamaño de la propia población. Dicho de otro modo, existe una relación entre N y N’: ¡ahí entran las ecuaciones diferenciales!
Un modelo simplista -------------------
Fue en 1798 cuando el pastor encargado de atender a los necesitados Thomas Malthus publicó su Ensayo sobre el principio de la población. En él sugiere que la tasa de crecimiento de la población depende de la tasa de natalidad b y de la tasa de mortalidad d, que considera constantes. En definitiva, la población está sometida a una tasa de crecimiento r = b – d y se tiene la relación N’ = rN. Esta ecuación diferencial es, sin duda, la más sencilla que existe, y su resolución proporciona explícitamente N(t) = N0 exp(r t), donde N0 es la población inicial.
De acuerdo con la intuición, si la tasa de natalidad es superior a la tasa de mortalidad, r es positiva y la población crece. Por el contrario, si r < 0, la población decrece y, si r = 0, nacimientos y muertes se compensan y la población permanece estable.