Una ecuación diferencial es una relación entre una función y sus derivadas. Resolverla consiste en hallar todas las funciones que verifican esa relación, expresadas en su forma «más simple». Una manera ilustrativa de abordarlas consiste en partir de algunas funciones habituales y preguntarse qué ecuaciones diferenciales tienen como soluciones.
A partir de la exponencial -----------------------------
Una función imprescindible en matemáticas, que conduce a una de las ecuaciones diferenciales más elementales, es la exponencial, que se escribe f (x) = *ex. Se ve enseguida que f ’(x) = ex = f (x). De ello se sigue que verifica idénticamente la ecuación f ’= f , o bien f ’– f = 0 (en la práctica, para obtener una escritura más compacta, generalmente se omite indicar la variable x* en las ecuaciones).
Esta expresión la convierte en una de las ecuaciones diferenciales «más simples»: es lineal, de primer orden (solo interviene la primera derivada), con coeficientes constantes y sin segundo miembro.
Tomemos ahora g (x) = x2. Esta nueva función g verifica g’(x) = 2x.