Las matemáticas no se reducen, evidentemente, al arte del cálculo, pero dominarlo permite ampliar horizontes cuando se emprende una vía de investigación. Antes de ocuparse de la estrategia, hay que dominar la técnica. Y, puesto que la tasa de errores en un cálculo depende de su duración, parece sensato hacer la menor cantidad posible. Este enfoque minimalista del cálculo puede ilustrarse con las sucesiones recurrentes lineales y las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes.
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Linealidad y espacios vectoriales
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Lo esencial del aprendizaje matemático en los primeros cursos se refiere, de una forma u otra, a la noción de linealidad. Sin embargo, ejemplos frecuentes confirman que la noción de proporcionalidad aún no la dominan quienes transmiten la información —típicamente, los periodistas— ni quienes han de tratarla —fundamentalmente, los políticos—. Esta noción, tan fácil de entender y previa a todo desarrollo científico, es rica, no obstante, en consecuencias. El concepto de linealidad está en el núcleo de la definición de los espacios vectoriales, que son conjuntos formados por elementos llamados vectores, estables bajo combinaciones lineales. Esta estabilidad bajo combinación lineal reaparece en la definición de una función, o un operador, lineal: la imagen de una combinación de elementos es igual a la misma combinación de las imágenes. Más claramente, T(α x + β y ) = α T(x) + β T(y), donde α y β son números que pertenecen a un conjunto (un cuerpo) en el que pueden realizarse las cuatro operaciones habituales. Simplifiquemos la vida situándonos en el cuerpo de los números reales.
La consecuencia fundamental de la definición es que, si disponemos de dos soluciones (u, v) independientes, es decir, no proporcionales, de la ecuación T(x) = 0, entonces toda combinación de la forma α u + β v es solución de esa misma ecuación:
