La matematica non si riduce certo all’arte del calcolo, ma padroneggiare quest’arte consente di ampliare i propri orizzonti quando si intraprende una ricerca. Prima di giocare con la strategia, bisogna liberarsi dalla tecnica. E poiché il tasso di errori in un calcolo dipende dalla sua durata, sembra saggio farne il meno possibile. Questo approccio minimalista al calcolo può essere illustrato con le successioni ricorsive lineari e le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.
-
Linearità e spazi vettoriali
-------------------------------
La parte essenziale dell’apprendimento matematico nei primi anni di scuola riguarda, sotto una forma o l’altra, la nozione di linearità. Eppure esempi ricorrenti confermano che la nozione di proporzionalità non è ancora padroneggiata da chi comunica le informazioni, tipicamente i giornalisti, né da chi deve elaborarle, soprattutto i politici. Questa nozione, così naturale da comprendere e preliminare a ogni sviluppo scientifico, è tuttavia ricca di conseguenze. Il concetto di linearità è al centro della definizione degli spazi vettoriali, insiemi formati da elementi chiamati vettori e stabili rispetto alle combinazioni lineari. Questa stabilità rispetto alle combinazioni lineari si ritrova nella definizione di una funzione, o di un operatore, lineare: la trasformata di una combinazione di elementi è uguale alla medesima combinazione delle trasformate. Più chiaramente, T(α x + β y ) = α T(x) + β T(y), dove α e β sono numeri appartenenti a un insieme, un campo, sul quale si possono effettuare le quattro operazioni abituali. Semplifichiamoci la vita lavorando nel campo dei numeri reali.
La conseguenza fondamentale della definizione è che, se disponiamo di due soluzioni (u, v) indipendenti, cioè non proporzionali, dell’equazione T(x) = 0, allora tutte le combinazioni della forma α u + β v sono soluzioni della stessa equazione:
