Le serie di funzioni si svilupparono nel 18º secolo, ma fu solo nel secolo successivo che teoremi precisi consentirono di conoscerne le proprietà, in particolare di studiarne la continuità e la derivabilità. Ciò ha permesso di ampliare considerevolmente il numero delle funzioni matematiche, senza limitarsi a combinazioni di operazioni algebriche su funzioni elementari come le potenze, le radici, il logaritmo, l’esponenziale o le funzioni trigonometriche. In particolare, è stato così possibile esibire numerosi esempi di funzioni che sfidano l’intuizione.
Quando la somma è discontinua ------------------------------
È nota l’illusione ottica, illustrata da Maurits Cornelis Escher, di una fontana la cui acqua sembra scorrere senza fine e ritrovarsi… al punto di partenza.
Ecco un esempio di funzione periodica, continua in ogni punto irrazionale ma con un salto negativo in ogni punto razionale (ossia il cui limite destro in tali punti è sempre strettamente inferiore al limite sinistro). Una funzione periodica che decresce sempre? L’intuizione ne esce malconcia…
Indichiamo con E(x) la parte intera del numero reale x e con h (x) la differenza x – E(x). Questa funzione (detta parte frazionaria e spesso indicata con {x}) è periodica poiché E(x+1) = E(x) + 1; si ha quindi h (x+1) = x + 1 – (E(x) + 1) = h (x). Inoltre, per ogni x, | h (x) | ≤ 1. Infine, la funzione h è continua in ogni punto non intero, ma presenta un salto negativo in ogni intero; per esempio, h (1) = 0 ma h (x) tende a 1 quando x tende a 1 da valori inferiori.