La discontinuità
In rottura con la ricerca di regolarità nei fenomeni scientifici, l'interesse per le funzioni discontinue è apparso improvvisamente all'inizio del XIX secolo con lo studio delle serie di Fourier. Una maggiore rigore si è allora imposta per definire i concetti di funzione, continuità, derivabilità. Riemann, Lebesgue, Darboux e altri hanno proposto esempi di funzioni mostruose per giustificare l'interesse delle teorie che avevano elaborato, aprendo il campo a nuovi approcci della fisica e persino dell'economia.
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L’emergere delle funzioni discontinue
Fino all’inizio del XIX secolo, tutto sembrava continuo. Con le serie trigonometriche, le funzioni discontinue entrarono in scena. Spinsero Riemann a generalizzare la nozione di integrale, Weierstrass a precisare quella di continuità e Darboux a studiare le funzioni derivate.
Discontinuità di ogni genere
Sono state definite «patologiche»; Henri Poincaré parlava di «mostri», accusandole di essere «funzioni bizzarre che si sforzano di assomigliare il meno possibile alle oneste funzioni che servono a qualcosa». Eppure, alcune funzioni discontinue hanno lasciato il segno nella storia.
Discontinuità e serie di funzioni
L’introduzione delle serie di funzioni, seguita da teoremi che giustificano la conservazione al limite delle proprietà di continuità o derivabilità, ha permesso di costruire oggetti dalle proprietà insolite, che sfidano l’intuizione. Alcuni celebri studiosi si sono sbizzarriti!
Il fenomeno di Gibbs
Quando si comprime un’immagine, non solo diventa leggermente sfocata, ma nelle zone di contrasto si osserva un’accentuazione della discontinuità. Questo fenomeno prende il nome di fenomeno di Gibbs e per comprenderlo occorre introdurre la nozione di scomposizione di un’onda in armoniche.
Le distribuzioni:
L’idea di discontinuità è illustrata in modo emblematico da due «funzioni» che portano il nome di fisici: Heaviside e Dirac. Un problema economico offre l’occasione per presentare intuitivamente gli elementi fondamentali della teoria matematica sottostante.