Las series de funciones despegaron en el 18.º siglo, pero no fue hasta el siglo siguiente cuando teoremas precisos permitieron conocer sus propiedades, en particular estudiar su continuidad y su derivabilidad. Esto permitió ampliar considerablemente el número de funciones matemáticas, en vez de limitarse a combinaciones de operaciones algebraicas sobre funciones elementales como las potencias, las raíces, el logaritmo, la exponencial o las funciones trigonométricas. En particular, pudieron exhibirse así numerosos ejemplos de funciones que desafían la intuición.
Cuando la suma es discontinua
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Todos conocemos la ilusión óptica, ilustrada por Maurits Cornelis Escher, de una fuente cuya agua parece fluir siempre y que regresa… a su punto de partida.
He aquí un ejemplo de función periódica, continua en todo punto irracional pero que presenta un salto negativo en todo punto racional (es decir, cuyo límite por la derecha en esos puntos es siempre estrictamente inferior al límite por la izquierda). ¿Una función periódica que siempre decrece? La intuición se resiente…
Denotemos por E(x) la parte entera del número real x y por h (x) la diferencia x – E(x). Esta función (llamada parte fraccionaria y a menudo denotada por {x}) es periódica, puesto que E(x+1) = E(x) + 1; por tanto, h (x+1) = x + 1 – (E(x) + 1) = h (x). Además, para todo x, | h (x) | ≤ 1. Por último, la función h es continua en todo punto no entero, pero presenta un salto negativo en todo entero; por ejemplo, h (1) = 0 pero h (x) tiende a 1 cuando x tiende a 1 por valores inferiores.
