Se las ha calificado de «patológicas»; Henri Poincaré hablaba de «monstruos» y las acusaba de ser «funciones extrañas que se esfuerzan por parecerse lo menos posible a las honradas funciones que sirven para algo». Sin embargo, algunas funciones discontinuas han dejado huella en la historia.
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La introducción de las series de funciones y, después, de los teoremas que justifican la conservación en el límite de las propiedades de continuidad o derivabilidad permitió construir objetos con propiedades insólitas, que desafían la intuición. ¡Algunos científicos célebres se divirtieron de lo lindo!
De Cauchy a Weierstrass, el rigor se impuso en el análisis a lo largo de todo el siglo XIX. Diversos contraejemplos echaron por tierra creencias erróneas y obligaron a definir mejor los distintos conceptos. Se introdujeron ciertas funciones «monstruosas», fascinantes para unos y repugnantes para otros.
Hasta comienzos del siglo XIX, todo parecía continuo. Con las series trigonométricas, las funciones discontinuas entraron en escena. Llevaron a Riemann a generalizar la noción de integral, impulsaron a Weierstrass a precisar la noción de continuidad y condujeron a Darboux a estudiar las funciones derivadas.
El análisis armónico, rama del análisis funcional, estudia la representación de las funciones como superposición de funciones de base. En teoría de señales, estas últimas, a menudo polinómicas, están en el centro del procesamiento del sonido y de las imágenes de nuestro entorno digital.
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