Entre los números irracionales, ¿por qué distinguir dos tipos de números, los algebraicos y los trascendentes? ¿De dónde surgió esta idea? Retrocedamos a mediados del siglo 18.º, cuando la noción de fracción ya es bien conocida y los racionales pasan a considerarse números de pleno derecho. Demostrar que un número es o no irracional cobra interés. Leonhard Euler es el primero en desenfundar su número predilecto e = exp(1), base del logaritmo neperiano, al demostrar su irracionalidad, así como la de su cuadrado. Su demostración se expone en su obra De fractionibus continuis, publicada en 1737, en la que expresa este número mediante una fracción continua. El matemático alemán Johann Lambert (1728‒1777) ingresa en la Academia de Berlín en 1765 y allí coincide con el matemático suizo. Inspirándose en su método, demuestra de forma más general que, si x es un racional no nulo, los valores exp(x) y tan(x) son irracionales; también demuestra la irracionalidad del número π.
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Leonhard Euler (1707‒1781).
Para comprender mejor estos números, cabe plantearse naturalmente si no serán raíces de una ecuación polinómica con coeficientes enteros —o racionales, que viene a ser lo mismo si se reducen todos los coeficientes al mismo denominador y se simplifica—. Euler pudo ser el primero en abordar esta cuestión, probablemente ya en 1744.
