Verso la trascendenza

Tra i numeri irrazionali, perché distinguere due tipi di numeri, algebrici e trascendenti? Da dove nasce quest’idea? Torniamo alla metà del 18^e secolo, quando la nozione di frazione è ben nota e i razionali sono ormai considerati numeri a tutti gli effetti. Dimostrare che un numero è oppure non è irrazionale acquista interesse. Leonhard Eulero fu il primo a entrare in scena con il suo numero prediletto e = exp(1), base del logaritmo naturale, dimostrandone l’irrazionalità, così come quella del suo quadrato. La sua dimostrazione è esposta nell’opera De fractionibus continuis, pubblicata nel 1737, nella quale esprime questo numero mediante una frazione continua. Il matematico tedesco Johann Lambert (1728‒1777) entrò nell’Accademia di Berlino nel 1765, dove frequentò il matematico svizzero. Ispirandosi al suo metodo, dimostrò più in generale che, se x è un razionale non nullo, allora i valori exp(x) e tan(x) sono irrazionali; dimostrò anche l’irrazionalità del numero π.

####

Per comprendere meglio questi numeri, ci si può naturalmente chiedere se non siano radici di un’equazione polinomiale a coefficienti interi (o razionali, il che è equivalente, riportando tutti i coefficienti allo stesso denominatore e semplificando). Eulero potrebbe essere stato il primo a occuparsi di questo tema, probabilmente già nel 1744.