Storia di e

La numerazione greca era limitata alla miriade M, del valore di diecimila, sufficiente per contare l’esercito del grande Dario. Ma questo sistema era incapace di contare i granelli di sabbia, come esprimeva il poeta Pindaro: «La sabbia [arena in greco] sfugge al numero.»

Per ovviare al problema, Archimede inventò, nella sua opera L’Arenario, un sistema equivalente al nostro sistema decimale, con base la miriade di miriadi, qui indicata con N = M². I «primi numeri» vanno da 1 a N = 10⁸, i «secondi numeri» da N a N² = 10¹⁶, e così via fino a $A=N^N={10}^{8\times {10}^8},A\; =\; N^N\; =\; 10^\{8\; \backslash times\; 10^8\},$ l’ultimo degli «N ⁱ-esimi numeri». Archimede proseguì poi il procedimento con A come nuova base per mostrare la potenza della sua notazione.

Considerò un «primo periodo» da 1 ad A, e così via fino a $B=A^N={10}^{8\times {10}^{16}}\mathrm{.}B\; =\; A^N\; =\; 10^\{8\; \backslash times\; 10^\{16\}\}.$ Definì in questo modo un numero superiore al numero di granelli di un «Universo completamente insabbiato». Il modernissimo Archimede fu così il primo a usare un principio esponenziale.

Il ruolo della trigonometria ---------------------------

Fin dall’Antichità si osserva dunque che, in una successione geometrica *u_n = qⁿ di ragione q, il prodotto dell’n*^esimo termine per l’m^esimo termine è uguale al termine (n+m)^esimo. Questa sostituzione di un prodotto con una somma è ben evidenziata dalla notazione esponenziale: