pi e gli altri

È senza dubbio la più famosa costante di tutta la matematica dopo lo 0 o l'1. Il numero π, la cui storia conta diversi millenni e continua a scriversi ancora oggi, esercita un fascino manifesto. È forse a causa della sua onnipresenza in geometria e del suo legame con questa forma perfetta che è il cerchio? Oppure perché la sequenza infinita delle sue cifre decimali sembra totalmente casuale? O ancora a causa dell'abisso che separa la semplicità della sua definizione dalla difficoltà che si incontra nel dimostrare le sue proprietà? Ciò che è certo è che π continua a dare lavoro agli scienziati e a intrigarci.

L’irruption, au temps des Grecs, de la notion d’irrationalité, avec l’impossibilité, pour certains nombres de s’écrire comme un quotient d’entiers, a été un temps fort des mathématiques. Chaque nouveau nombre fut alors soumis à la question : fraction ou irrationnel ? La démonstration, au XIXe siècle, de l’irrationalité de nombres comme π ou e, a ajouté un degré à la catégorisation : contrairement à d’autres, comme √2, ils n’étaient pas solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers. Ils furent nommés transcendants, comme pour rappeler qu’ils venaient d’un monde supérieur. En fait, presque tous les nombres réels sont transcendants mais pour certains irrationnels, la question reste ouverte.

Dans l’univers des nombres réels, quand on n’est pas transcendant, on est algébrique. C’est-à-dire, pour les seconds, solutions d’une équation algébrique à coefficients entiers. C’est le cas, par exemple, de tous les nombres constructibles à la règle et au compas. Mais même si certains peuvent s’écrire à l’aide de radicaux, ce n’est pas le cas de tous et leur étude nous ramène souvent à la théorie des équations initiée par Galois au XIXe siècle. Une autre spécificité de l’ensemble des nombres algébriques est de posséder une structure : la somme, le produit et le quotient de deux d’entre eux est encore algébrique. On est donc en présence d’un corps, notion très importante dans l’algèbre moderne.