All’inizio i pitagorici, scuola matematica del 6º e 5º secolo prima della nostra era fondata da Pitagora, pensavano che tutti i numeri fossero razionali. Si accorsero ben presto che il numero aureo, presente nel loro simbolo, il pentagramma, non lo era. Poi scoprirono che neppure 2\sqrt{2} lo era. Queste due scoperte provocarono un enorme scandalo: il «tutto è numero» (cioè numero intero o frazione), fondamento della filosofia pitagorica, crollava! Ma il vaso di Pandora era ormai aperto: di numeri irrazionali ce ne sono, in realtà, infiniti. I Greci forse si chiesero se lo fosse anche π. A priori, non seppero rispondere a questa domanda, poiché fu risolta solo molto più tardi.
Se nell’Antichità si sapeva già che alcuni numeri erano irrazionali, ciò non significa che sia facile dimostrare l’irrazionalità di un dato numero. Ne è prova il fatto che si dovette attendere il 1978 perché Roger Apéry dimostrasse l’irrazionalità del numero ζ(3)=∑n≥11n3\zeta (3) = \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^3} (vedi l’articolo « Verso la trascendenza »).
Uno strumento efficace -----------------
Le frazioni continue sono molto usate per studiare i numeri irrazionali. Consistono nello scriverli come una successione di quozienti
a0+1a1+1a2+1a3+…a_0 + \dfrac{1}{a_1 + \dfrac{1}{a_2 + \dfrac{1}{a_3 + \ldots}}}