La nozione di somma di una serie non si riduce al modo in cui la si incontra durante gli studi, il più delle volte all’università o nei corsi preparatori. Si può uscire dal «quadro classico» in molti modi. Uno consiste nel trovare un modo per giungere più rapidamente a una stima della somma.
Accelerazione della convergenza
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Si potrebbe credere che una serie non assolutamente convergente (o, a fortiori, divergente) perda ogni interesse per l’approssimazione della sua eventuale somma. Non è così, perché il procedimento di sommazione può, in molti casi, svolgere il ruolo di acceleratore della convergenza, ossia trasformare la serie in una serie assolutamente convergente con la stessa somma e restituire significato alla proprietà di approssimazione. Consideriamo per esempio il caso della serie armonica alternata, citata negli articoli precedenti, la cui somma, in senso classico, vale il logaritmo naturale di 2:
1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 … = ln(2) = 0,69314…
La convergenza è lenta. In altre parole, occorrono molti termini, dell’ordine di 10*n, per ottenere un’approssimazione di ln(2) con n* cifre significative. Occorre dunque sommare dieci miliardi di termini per avere appena dieci cifre significative!
