Convergere verso un numero: un unico significato?

Per studiare una serie numerica, si parte da una successione (*u_n)_n*_≥0 di numeri (reali o complessi). La successione converge a un limite L se, per ogni numero ε, per quanto piccolo, esiste un indice N oltre il quale la differenza |*u_n – L| è minore di ε.*

Dalla successione alla serie convergente ----------------------------------

Per la convergenza di una serie si applica lo stesso principio. Si definisce la successione delle somme parziali ${\text{S}}_n={\sum }_{k=0}^n{u}_k\backslash text\{S\}\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; u\_k$ e si verifica se converge a un limite S che, se esiste, è precisamente la somma della serie.

Una condizione necessaria affinché la serie Σ *u_n converga è che il termine generale u_n tenda a 0, ma non è sufficiente. L’esempio più classico è quello della serie armonica Σ 1/n*, che diverge, poiché le sue somme parziali tendono all’infinito.

Può tuttavia accadere che una serie a termini positivi diverga, mentre una serie composta dagli stessi termini, preceduti da segni diversi (+ e –), possa convergere. È il caso, per esempio, delle serie alternate (i segni + e – si alternano e il valore assoluto della successione è decrescente). Per tali successioni, quando il termine generale *u_n tende a 0, anche se la serie Σ u_n diverge, la serie alternata Σ (‒1)ⁿu_n converge. La più nota è la serie armonica alternata Σ (‒1)ⁿ/n*, di cui si parlerà molto in questo dossier.