Le straordinarie proprietà dell’infinito

1+ 2 = 2 + 1: la commutatività dell’addizione di numeri reali, vale a dire il fatto che l’ordine in cui si sommano i termini non influisce in alcun modo sulla loro somma, sembra un’ovvietà. Del resto, trova conferma empirica ogni giorno. Eppure presenta alcune eccezioni, che aprono la strada a possibilità fiabesche!

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Il potere di scegliere la somma ------------------------------

Se ogni addizione che coinvolge un numero finito di reali è effettivamente commutativa (sono i casi che si incontrano nella vita quotidiana), esistono situazioni in cui la somma di un’addizione con un numero infinito di termini varia a seconda dell’ordine dei termini. Questo argomento, studiato dalla metà del 19^º secolo, fu avviato da matematici tedeschi: Dirichlet sembra essere stato il primo a stabilire che cambiare l’ordine dei termini di alcune serie ne modifica la somma; fu seguito da Georg Simon Ohm (1789–1854), Bernhard Riemann e Oscar Xavier Schlömilch (1823–1901).

Bernhard Riemann scoprì criteri precisi, che condussero al teorema di riordinamento. Pur essendo stato un pioniere fecondo e influente della matematica, celebrato in particolare nell’analisi per gli integrali che oggi portano il suo nome e per i suoi lavori sulla funzione zeta, Riemann ricevette relativamente pochi riconoscimenti in seguito alla scoperta di questo risultato.

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Un’intuizione straordinaria ----------------------------

Riemann stabilì in modo inconfutabile che cambiare l’ordine dei termini di alcune addizioni (le serie semiconvergenti) implica… modificarne la somma! I suoi lavori permisero di andare ancora oltre: se fosse qui, Riemann vi direbbe, come un mago: «Datemi un qualunque numero reale, o persino più o meno infinito, e farò convergere questa serie verso quel reale oppure la farò divergere.» In altre parole, Riemann fu il primo a capire come domare questo genere di serie, inventando un’adeguata permutazione dei termini per far assumere alla serie una somma scelta a piacere. È un risultato sbalorditivo!

Per capire come procede Riemann, soffermiamoci sul suo teorema di riordinamento: vi descrive anzitutto le successioni $(u_n{)}_{n\ge 0}(u\_n)\_\{n\backslash ge\; 0\}$ alle quali si applica questo risultato, quelle che soddisfano il criterio di semiconvergenza (ossia convergono verso un reale r, ma divergono in valore assoluto). In altre parole, la serie di termine generale u_n converge e la serie di termine generale |u_n| diverge. Formalmente: ${\sum }_{k=0}^n{u}_{k}r\text{e}{\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\mid u_k\mid =+\mathrm{\infty }\mathrm{.}\backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}u\_k\; \backslash underset\{n\backslash to+\backslash infty\}\{\backslash longrightarrow\}\; r\; \backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash text\{e\}\backslash ,\backslash ,\backslash ,\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{+\backslash infty\}\backslash left\; |\; u\_k\; \backslash right\; |\; =+\backslash infty.$

Consideriamo ora la serie armonica alternata:

Questa serie converge all’opposto del logaritmo naturale di 2, cioè –0,693…, ma la serie armonica

invece diverge.

Le serie che ci interessano avranno dunque termini strettamente positivi e altri strettamente negativi.

La semiconvergenza necessaria alla dimostrazione del teorema di riordinamento è legata alla possibilità di disporre di infiniti termini negativi o positivi. Una serie semiconvergente $S={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{n}S=\backslash sum\_\{n=0\}^\{+\backslash infty\}u\_n$ presenta proprio infiniti termini positivi e infiniti termini negativi. Inoltre, perché si realizzi l’intuizione di Riemann, occorre che divergano le due serie ottenute da S considerando soltanto i termini positivi, da una parte, e quelli negativi, dall’altra. Ora, queste due sottoserie divergono effettivamente. Per vederlo, indichiamo con A = (a_n)_n≥0 la sottosuccessione di (u_n)_n≥0 formata unicamente dai termini positivi, e con B = (b_n)_n≥0 quella dei termini negativi. Riformuliamo in modo ingegnoso i termini generali delle successioni A e B:

Si ha effettivamente a_n = 0 se u_n < 0 e a_n = u_n se u_n > 0. Questa uguaglianza implica che la serie di termine generale a_n è la somma di una serie divergente a termini positivi e di una serie convergente, quindi diverge. Analogamente, per ogni numero intero n, $b_n=\frac{u_n-\mid u_n\mid }{2}b\_n=\backslash frac\{u\_n-\backslash left\; |\; u\_n\; \backslash right\; |\}\{2\}$, e anche B diverge, come differenza tra una serie convergente e una serie divergente.

Dunque, ogni serie semiconvergente possiede infiniti numeri positivi e infiniti numeri negativi, e le loro rispettive somme divergono entrambe.

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Riordinare i termini ---------------------

Prendiamo la serie armonica alternata e scegliamo un numero reale arbitrario, diciamo 10¹⁰⁰. Vogliamo riordinare i termini della serie $-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\dots -1+\backslash frac\{1\}\{2\}-\backslash frac\{1\}\{3\}+\backslash frac\{1\}\{4\}-\backslash frac\{1\}\{5\}+\backslash dots$ mediante una permutazione, così da far tendere la nostra serie non più a –ln (2), bensì a 10¹⁰⁰.

Ecco l’idea geniale di Riemann: cominciamo a sommare tutti i termini positivi della serie finché non superiamo 10¹⁰⁰. Fermiamoci non appena 10¹⁰⁰ viene superato; ciò è possibile perché la serie associata A diverge. Introduciamo ora la serie B dei termini negativi, i cui termini consideriamo finché non torniamo al di sotto di 10¹⁰⁰ (in concreto, in questa fase basta considerare il primo termine della serie armonica, cioè –1). Riprendiamo A dal punto in cui l’avevamo lasciata e sommiamo di nuovo tutti i suoi termini nell’ordine, finché non superiamo 10¹⁰⁰. Una volta superato 10¹⁰⁰, aggiungiamo il secondo termine negativo di B, ossia –1/3: scendiamo subito sotto 10¹⁰⁰. Riprendiamo quindi A dal termine in cui l’avevamo lasciata per proseguire il nostro algoritmo, e così via. Nessuno dei termini della serie armonica viene dimenticato e ciascun termine è preso una sola volta: otteniamo dunque una vera e propria permutazione dei termini della serie considerata. La convergenza della nuova serie ottenuta dal riordinamento dei termini può essere visualizzata così: una salita verso 10¹⁰⁰, poi un’oscillazione attorno a 10¹⁰⁰, sempre più ravvicinata, alternativamente dall’alto e dal basso. Ecco, graficamente, l’aspetto del tipo di successione che si costruisce, con l’esempio della serie armonica alternata riordinata affinché converga a 3.

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Convergenza della serie armonica alternata riordinata verso 3.

Questo affascinante esperimento mentale permette di entrare nel mondo misterioso dell’infinito matematico. Vi si incontrano insiemi numerabili (i numeri naturali, gli interi, i razionali, i numeri pari, i quadrati perfetti…) e insiemi non numerabili (i reali, i complessi, le funzioni da [0, 1] in sé…). Il matematico tedesco Georg Cantor (1845–1918) è all’origine di questa teoria, che continua a produrre risultati straordinariamente controintuitivi. Le sue idee furono peraltro accolte male ai suoi tempi… Oggi, tuttavia, più che mai, per dirla con David Hilbert, «nessuno potrà scacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi».