Las alucinantes propiedades del infinito

1 + 2 = 2 + 1: la conmutatividad de la suma de números reales, es decir, el hecho de que el orden en que se suman los términos no influye en absoluto en su suma, parece una obviedad. Además, se confirma empíricamente todos los días. Sin embargo, presenta algunas excepciones que abren la puerta a posibilidades fantásticas.

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El poder de elegir la suma ------------------------------

Si toda suma de un número finito de números reales es efectivamente conmutativa —como ocurre en la práctica cotidiana—, hay situaciones en las que la suma de un número infinito de términos varía según el orden de estos. Este asunto, estudiado desde mediados del siglo XIX^e, fue iniciado por matemáticos alemanes: Dirichlet parece haber sido el primero en establecer que cambiar el orden de los términos de ciertas series modifica su suma; le siguieron Georg Simon Ohm (1789–1854), Bernhard Riemann y Oscar Xavier Schlömilch (1823–1901).

Bernhard Riemann descubrió criterios precisos que condujeron al teorema de reordenación. Aunque fue un pionero de las matemáticas fecundo e influyente, celebrado especialmente en análisis por las integrales que hoy llevan su nombre y por sus trabajos sobre la función zeta, Riemann recibió relativamente poco reconocimiento tras descubrir este resultado.

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Una intuición extraordinaria ----------------------------

Riemann estableció de manera irrefutable que cambiar el orden de los términos de ciertas sumas —las series semiconvergentes— implica… ¡modificar su suma! Sus trabajos permitieron ir aún más lejos: si estuviera aquí, Riemann le afirmaría, como un mago: «Deme cualquier número real, o incluso más o menos infinito, y haré que esta serie converja hacia ese número real o la haré divergir.» En otras palabras, Riemann fue el primero en comprender cómo dominar este tipo de series, inventando una permutación adecuada de los términos para hacer que la serie adopte la suma que él elija. ¡Es un resultado asombroso!

Para comprender cómo procede Riemann, examinemos su teorema de reordenación: primero describe las sucesiones $(u_n{)}_{n\ge 0}(u\_n)\_\{n\backslash ge\; 0\}$ a las que se aplica este resultado, las que cumplen el criterio de semiconvergencia (es decir, que convergen a un número real r, pero divergen en valor absoluto). En otras palabras, la serie de término general u_n converge y la serie de término general |u_n| diverge. Formalmente: ${\sum }_{k=0}^n{u}_{k}r\text{y}{\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\mid u_k\mid =+\mathrm{\infty }\mathrm{.}\backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}u\_k\; \backslash underset\{n\backslash to+\backslash infty\}\{\backslash longrightarrow\}\; r\; \backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash text\{y\}\backslash ,\backslash ,\backslash ,\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{+\backslash infty\}\backslash left\; |\; u\_k\; \backslash right\; |\; =+\backslash infty.$

Consideremos ahora la serie armónica alternada:

Esta serie converge al opuesto del logaritmo neperiano de 2, es decir, –0,693…, pero la serie armónica

en cambio, diverge.

Las series que nos interesan tendrán, por tanto, términos estrictamente positivos y otros términos estrictamente negativos.

La semiconvergencia necesaria para demostrar el teorema de reordenación está ligada a la posibilidad de disponer de infinitos términos negativos o positivos. Una serie semiconvergente $S={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_{n}S=\backslash sum\_\{n=0\}^\{+\backslash infty\}u\_n$ presenta precisamente una alternancia de tales números. Después, para que se cumpla la intuición de Riemann, es necesario que las dos series obtenidas a partir de S considerando únicamente los términos positivos, por una parte, y los negativos, por otra, diverjan. Ahora bien, estas dos subseries divergen efectivamente. Para verlo, denotemos por A = (a_n)_n≥0 la subsucesión de (u_n)_n≥0 formada únicamente por los términos positivos, y por B = (b_n)_n≥0 la formada por los términos negativos. Reformulemos ingeniosamente los términos generales de las sucesiones A y B:

En efecto, a_n = 0 si u_n < 0 y a_n = u_n si u_n > 0. Esta igualdad implica que la serie de término general a_n es la suma de una serie divergente de términos positivos y una serie convergente, por lo que diverge. Del mismo modo, para todo número entero n, $b_n=\frac{u_n-\mid u_n\mid }{2}b\_n=\backslash frac\{u\_n-\backslash left\; |\; u\_n\; \backslash right\; |\}\{2\}$, y B también diverge como diferencia entre una serie convergente y una serie divergente.

Así pues, toda serie semiconvergente posee infinitos números positivos e infinitos números negativos, y las sumas de sus términos divergen.

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Reordenar los términos ---------------------

Tomemos la serie armónica alternada y elijamos un número real arbitrario, por ejemplo 10¹⁰⁰. Queremos reordenar los términos de la serie $-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\dots -1+\backslash frac\{1\}\{2\}-\backslash frac\{1\}\{3\}+\backslash frac\{1\}\{4\}-\backslash frac\{1\}\{5\}+\backslash dots$ mediante una permutación para hacer que nuestra serie tienda ya no a –ln (2), sino a 10¹⁰⁰.

Esta es la genial idea de Riemann: empecemos sumando todos los términos positivos de la serie hasta superar 10¹⁰⁰. Detengámonos en cuanto se supere 10¹⁰⁰; esto es posible porque la serie asociada A diverge. Hagamos intervenir ahora la serie B de términos negativos, que «desplegamos» hasta volver a bajar de 10¹⁰⁰ (en concreto, en esta etapa basta con considerar el primer término de la serie armónica, es decir, –1). Retomemos A donde la habíamos dejado y sumemos de nuevo todos sus términos en orden hasta superar 10¹⁰⁰. Una vez superado 10¹⁰⁰, añadamos el segundo término negativo de B, es decir, –1/3: bajamos inmediatamente de 10¹⁰⁰. Retomemos entonces A en el término donde la habíamos dejado para continuar nuestro algoritmo, y así sucesivamente. No se olvida ninguno de los términos de la serie armónica y cada término se toma una sola vez: obtenemos, por tanto, una permutación de los términos de la serie considerada. La convergencia de la nueva serie obtenida mediante el reordenamiento de los términos puede visualizarse así: un ascenso hacia 10¹⁰⁰, seguido de una oscilación alrededor de 10¹⁰⁰, cada vez más estrecha, alternativamente por encima y por debajo. Gráficamente, este es el aspecto del tipo de sucesión que construimos, con el ejemplo de la serie armónica alternada reordenada para converger hacia 3.

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Convergencia de la serie armónica alternada reordenada para converger a 3.

Este fascinante experimento mental permite adentrarse en el misterioso mundo del infinito matemático. En él encontramos conjuntos numerables —los naturales, los enteros, los racionales, los números pares, los cuadrados perfectos…— y conjuntos no numerables —los reales, los complejos, las funciones de [0, 1] en sí mismo…—. El matemático alemán Georg Cantor (1845–1918) fue uno de los fundadores de esta teoría, que sigue produciendo resultados extraordinarios y contraintuitivos. Sus ideas fueron mal recibidas en su época… Sin embargo, hoy, más que nunca, en palabras de David Hilbert, «nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor creó para nosotros».