Para una serie convergente, la noción de suma nunca ha suscitado debate. Como se recordaba en el artículo anterior, partiendo de una sucesión de números reales (*unn *≥ 0 y denotando por (S*nn *≥ 0 la sucesión de sumas parciales asociada, donde S*n = u*0 + u1 + u2 +… + *un, se dice que la serie Σ un converge si la sucesión (Snn *≥ 0 converge hacia un límite S, al que se llama suma de la serie.
En cambio, desde los primeros estudios sobre series, algunos matemáticos trataron de asignar una suma a series no convergentes, introduciendo definiciones que generalizan las propiedades de las series convergentes. Por ejemplo, hallar una suma para la serie de Grandi, Σ (‒1)*n*, evidentemente divergente, fue objeto de debate; el propio Grandi, al igual que Leibniz y Euler después de él, le asignaron la suma 1/2 mediante distintos procedimientos (véase En breve « Pequeña historia de la serie de Grandi »).
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