Sumar series, incluso divergentes
Las sucesiones infinitas de números siempre han intrigado a los matemáticos, quienes desarrollaron de manera consensuada el concepto de convergencia y de límite. Pero todo cambió cuando se interesaron por las sumas sucesivas de estas sucesiones, a las que se les dio el nombre de series. Las series convergentes (las « buenas »), estudiadas por todos los que se orientan a una carrera científica, no plantean ningún problema. Permiten definir la suma de una infinidad de términos, siempre que las « sumas parciales » converjan hacia un límite. Pero las otras, oficialmente « divergentes » (las « malas »), fueron el origen de enfoques muy diferentes, a veces sorprendentes, creando verdaderos conflictos filosóficos entre científicos célebres. Euler, Abel y algunos pioneros se arriesgaron a imaginar cómo definir sus sumas, encontrando algunas maravillas… que hoy son objeto de una hermosa teoría.
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Breve historia de la serie de Grandi
La serie de Grandi es la suma infinita 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … Durante más de trescientos años, esta serie ha sido estudiada por los matemáticos. Su historia puede dividirse en tres etapas.
Las sumas infinitas, cuestión de convención
La igualdad entre dos números no plantea ninguna dificultad cuando ambos se definen mediante procedimientos «finitistas*». Pero en cuanto interviene el infinito, materializado por puntos suspensivos en las fórmulas, se abre la puerta a diversas paradojas. (* El finitismo es un enfoque de las matemáticas que solo tiene en cuenta objetos finitos.)
Converger a un número: ¿un único sentido?
Las matemáticas tradicionales ofrecen una definición precisa de la convergencia de una serie de números, estudiada en el cuerpo de este artículo. Pero ello no debe cerrar la puerta a enfoques menos clásicos, evocados en el recuadro y en varios artículos de este dosier.
Dichas y desdichas de la suma de una serie
Si se puede asignar una suma a toda serie convergente, ¿qué ocurre con las series divergentes? La ortodoxia matemática afirma que no pueden recibir ningún valor. Sin embargo, Leibniz y Euler sugirieron algunas vías. Más tarde, Poisson, Frobenius y Borel transgredieron ese tabú.
Assigning a value… to a divergent series!
Beyond the usual notion of convergence for numerical series, many methods, some of them highly effective, can speed up the convergence of a series or assign a value to the “sum of a divergent series”. Here are some notable examples.