Primera etapa: búsqueda de un valor ---------------------------------------
La serie debe su nombre al religioso italiano Luigi Guido Grandi (1671‒1742), profesor en la Universidad de Florencia, primero de filosofía y después de matemáticas. La citó en 1703 en su libro Quadratura circula et hyperbolae per infinitas exhibita.
Para Grandi, la suma 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … es una serie geométrica de razón q = ‒1, por lo que puede calcularse su valor: es igual a 1 / (1 – q), es decir, 1 / 2. Varios matemáticos justificaron este valor de diversas maneras.
En su libro Acta eruditorum (1684), Leibniz observa que, si se efectúa formalmente el producto de (1 – x + x2 – x3 + x4…) por (1 + x), se obtiene 1, pues los demás términos «se anulan por pares»; por tanto, (1 – x + x2 – x3 + x4…) = 1 / (1 + x). En consecuencia, el resultado buscado se obtiene sustituyendo x por 1.
Leibniz obtiene asimismo este valor agrupando los términos de la serie de dos en dos: