Première étape : recherche d’une valeur
La série doit son nom au religieux italien Luigi Guido Grandi (1671‒1742), qui était professeur à l’université de Florence, d’abord en philosophie, puis en mathématiques. Il l’a citée en 1703 dans son livre Quadratura circula et hyperbolae per infinitas exhibita.
Pour Grandi, la somme 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … désigne une série géométrique de raison q = ‒1, de sorte que sa valeur peut être calculée : elle est égale à 1 / (1 – q), soit 1 / 2. Plusieurs mathématiciens ont justifié de diverses façons cette valeur.
Dans son livre Acta eruditorum (1684), Leibniz constate que si l’on effectue formellement le produit de (1 – x + x2 – x3 + x4…) par (1 + x) on trouve 1, car les autres termes « se détruisent deux par deux » ; on a donc (1 – x + x2 – x3 + x4…) = 1 / (1 + x). En conséquence, le résultat cherché est obtenu en remplaçant x par 1.
Leibniz retrouve encore cette valeur en regroupant deux par deux les termes de la série :
