Prima fase: alla ricerca di un valore ---------------------------------------
La serie deve il suo nome al religioso italiano Luigi Guido Grandi (1671‒1742), professore all’università di Firenze, dapprima di filosofia e poi di matematica. La citò nel 1703 nel suo libro Quadratura circula et hyperbolae per infinitas exhibita.
Per Grandi, la somma 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … rappresenta una serie geometrica di ragione q = ‒1, perciò il suo valore può essere calcolato: è uguale a 1 / (1 – q), ossia 1 / 2. Diversi matematici giustificarono in vari modi questo valore.
Nel suo libro Acta eruditorum (1684), Leibniz osserva che, eseguendo formalmente il prodotto di (1 – x + x2 – x3 + x4…) per (1 + x), si ottiene 1, perché gli altri termini «si annullano a due a due»; si ha dunque (1 – x + x2 – x3 + x4…) = 1 / (1 + x). Il risultato cercato si ottiene quindi sostituendo x con 1.
Leibniz ritrova lo stesso valore anche raggruppando i termini della serie a due a due: