Per una serie convergente, la nozione di somma non ha mai suscitato discussioni. Come ricordato nell’articolo precedente, data una successione di numeri reali (*un)n *≥ 0 e indicando con (S*n) n *≥ 0 la successione delle somme parziali associata, in cui S*n = u*0 + u1 + u2 +… + *un, si dice che la serie Σ un converge se la successione (Sn)n *≥ 0 converge a un limite S, detto somma della serie.
Fin dai primi studi sulle serie, tuttavia, alcuni studiosi cercarono di assegnare una somma a serie non convergenti, introducendo definizioni che generalizzassero le proprietà delle serie convergenti. Per esempio, trovare una somma per la serie di Grandi, Σ (‒1)*n*, palesemente divergente, fu oggetto di discussione; Grandi stesso, così come Leibniz ed Eulero dopo di lui, le attribuirono con procedimenti diversi la somma 1/2 (vedi In breve « Breve storia della serie di Grandi »).
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